La parábola
Eleva al cuadrado los números de −3 a 3 y obtienes 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Al graficarlos dibujan una forma de U llamada parábola.
Pon a en 2, luego en 1/2 y luego en −1
Empieza por el laboratorio, no por las definiciones. Muestra y = x² junto a una copia punteada que no se mueve. Pon a en 2. La curva se estrecha, y en x = 2 ya llega a 8. Ahora prueba 1/2. Luego −1. Uno de los dos abre la taza; el otro la pone boca abajo. Ten presentes esas tres imágenes, porque todo lo que sigue las explica.
Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.
Por qué −2 y 2 caen a la misma altura
Las rectas salen de ecuaciones en las que x solo aparece elevada a la primera potencia. Mete x² en la ecuación y la gráfica se curva. El caso más simple es y = x². Haz una tabla: x = −3 da 9, x = −2 da 4, x = −1 da 1, x = 0 da 0, y luego las mismas salidas vuelven en orden inverso para x = 1, 2 y 3. Dos entradas distintas, como −2 y 2, comparten una salida, porque un número negativo al cuadrado es positivo. Une los puntos con una curva suave y obtienes una U que es más baja en el origen y sube cada vez más rápido por los dos lados.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Una función que puede escribirse como f(x) = ax² + bx + c, con a distinto de 0, es una función cuadrática, y OpenStax llama a esto la forma general. Su gráfica siempre es una parábola. Si a fuera 0, el término x² desaparecería y volverías a tener una recta; por eso importa la condición. Los números b y c pueden ser cero: y = x², y = 3x² − 5 e y = −x² + 4x son todas funciones cuadráticas. Con x = 0 solo queda c, así que c es la ordenada al origen, el punto donde la parábola corta el eje y.
Dobla la curva por x = 1 y las mitades coinciden
Toda parábola tiene un punto de giro, el vértice. Cuando la parábola abre hacia arriba, el vértice es su punto más bajo y su coordenada y es el valor mínimo de la función. Cuando abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto y da el valor máximo. Por el vértice pasa una recta vertical llamada eje de simetría. Dobla la gráfica por esa recta y las dos mitades caen una sobre la otra. Esto ahorra trabajo. En cuanto conoces un punto de la curva, obtienes gratis un segundo punto reflejándolo respecto del eje. Un tiro de básquetbol visto de lado dibuja casi el mismo arco, y la parte más alta de ese arco es su vértice.
Por qué a = 2 es estrecha y a = −1 está boca abajo
El signo de a decide la dirección. Si a > 0 la parábola abre hacia arriba, como una taza; si a < 0 abre hacia abajo, como una taza boca abajo. El tamaño de a decide la anchura. Con y = 2x², cada salida es el doble que en y = x², así que la curva sube el doble de rápido y se ve más estrecha: en x = 2 ya está en 8. Con y = (1/2)x², las salidas se reducen a la mitad y la curva es más ancha: en x = 2 solo está en 2. Un |a| mayor significa una parábola más estrecha, y un |a| menor, una más ancha. Eso es lo que mostró el laboratorio de arriba. Con a = 2 la curva se pegaba al eje y, con 1/2 se abría y con −1 la taza se daba vuelta.
- Para f(x) = x², ¿cuánto vale f(−4)?
- Para y = 3x², ¿cuánto vale y cuando x = −2?
- ¿Qué parábola abre hacia abajo?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- ¿Qué parábola es la más estrecha?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- ¿Cuál es la ordenada al origen de y = x² − 4x + 7? Da el valor de y.
- Una parábola tiene eje de simetría x = 3 y pasa por (1, 5). ¿Qué otro punto tiene que estar en ella?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- ¿Cuál es el vértice de y = x² + 2?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- ¿Cuál de estas es una función cuadrática?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- ¿Cuál es el valor máximo de y = −x² + 4?
- En y = x² − 1, ¿cuánto vale y en x = −2? (Coincide con el valor en x = 2.)
| Parábola | La gráfica en forma de U de una función cuadrática |
| Vértice | El punto de giro: el más bajo si a > 0, el más alto si a < 0 |
| Eje de simetría | La recta vertical que pasa por el vértice |
| Ordenada al origen de ax² + bx + c | (0, c) |
- Escribir −3² = −9 para el punto en x = −3 de y = x². −3² significa −(3²). La entrada es el número entero −3, así que necesitas (−3)² = 9, y el punto es (−3, 9). Pon paréntesis a una entrada negativa antes de elevarla al cuadrado.
- Decir que y = −2x² es más ancha que y = x² porque −2 es menor que 1. La anchura depende de |a|, no de a. |−2| = 2 es mayor que 1, así que y = −2x² es la más estrecha. El signo menos solo la pone boca abajo.
- Leer la ordenada al origen de y = (x − 1)² − 2 como −2. c es la ordenada al origen solo cuando la función está escrita como ax² + bx + c. Aquí, pon x = 0: (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1, así que la curva corta el eje y en (0, −1), como en la figura.
- f(x) = ax² + bx + c con a ≠ 0 es una función cuadrática; su gráfica es una parábola.
- a > 0 abre hacia arriba, a < 0 abre hacia abajo; un |a| mayor la hace más estrecha.
- El vértice es el punto más bajo o más alto; el eje de simetría pasa por él.
- La ordenada al origen es (0, c).
Fuentes de este curso (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
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- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Fecha de consulta: 2026-10-18