Forma canónica

f(x) = 2x² + 4x − 4 y f(x) = 2(x + 1)² − 6 son la misma función, pero solo la segunda muestra el vértice (−1, −6) de un vistazo.

¿Dónde está el punto más bajo de 2x² + 4x − 4?

Prueba esto antes de seguir leyendo. ¿Dónde está el punto más bajo de f(x) = 2x² + 4x − 4? Con una tabla se llega, despacio. f(0) = −4, f(−1) = −6 y f(−2) = −4. Los dos −4 están a la misma distancia de x = −1, así que el fondo está en x = −1 y el mínimo es −6. Hicieron falta tres evaluaciones y una conjetura con suerte. Escrita como 2(x + 1)² − 6, la misma función muestra (−1, −6) sin ninguna tabla.

Por qué el vértice de a(x − h)² + k es (h, k)

Una función cuadrática también puede escribirse como f(x) = a(x − h)² + k. OpenStax la llama forma estándar, y como el vértice aparece en ella directamente también se llama forma canónica o forma de vértice. El vértice es el punto (h, k). La razón es corta: (x − h)² es un cuadrado, así que nunca es negativo, y vale 0 exactamente cuando x = h. Si a > 0, el menor valor posible de a(x − h)² es 0, así que el menor valor de f es k, que se alcanza en x = h. Si a < 0, el mismo argumento da el valor más grande.

Fíjate en el signo dentro del paréntesis. En f(x) = (x − 3)² + 2 el vértice es (3, 2), con un 3 positivo. En f(x) = −3(x + 2)² + 4, que OpenStax usa como ejemplo, x + 2 es lo mismo que x − (−2), así que h = −2 y el vértice es (−2, 4). Como a = −3 es negativo, la parábola abre hacia abajo, 4 es el valor máximo y el recorrido son todos los y con y ≤ 4. El eje de simetría es la recta vertical x = h, aquí x = −2.

Primero h = −b/(2a), luego k = f(h)

Cuando una función viene dada como ax² + bx + c, hay una forma rápida de hallar el vértice. El eje de simetría es x = −b/(2a), así que eso es h. Luego k es simplemente la salida en h: k = f(h). Volvamos al problema del principio, f(x) = 2x² + 4x − 4. Aquí h = −4/(2 × 2) = −1, y k = f(−1) = 2(1) − 4 − 4 = −6. Conserva la misma a y escribe f(x) = 2(x + 1)² − 6. Al desarrollar se confirma: 2(x² + 2x + 1) − 6 = 2x² + 4x + 2 − 6 = 2x² + 4x − 4.

¿Por qué −b/(2a)? Desarrolla a(x − h)² + k y obtienes ax² − 2ahx + (ah² + k). Comparar esto término a término con ax² + bx + c da b = −2ah, y al despejar h queda h = −b/(2a). La misma comparación muestra que c = ah² + k. Así que las dos formas llevan la misma información; una es cómoda para leer el vértice y la otra para leer la ordenada al origen c.

Otro camino es completar el cuadrado. Toma x² − 6x + 7. La mitad de −6 es −3, y (−3)² = 9. Suma y resta 9: x² − 6x + 9 − 9 + 7 = (x − 3)² − 2. El vértice es (3, −2). Los dos métodos tienen que coincidir, y aquí coinciden: −b/(2a) = 6/2 = 3 y f(3) = 9 − 18 + 7 = −2.

Deslizar y = x² hasta que su vértice quede en (h, k)

La forma canónica también dice cómo dibujar la gráfica a partir de y = x². Toma la curva madre, estírala por a (y dale la vuelta si a es negativa), muévela h unidades hacia un lado y k unidades hacia arriba o hacia abajo. El vértice (0, 0) de y = x² cae en (h, k). En el laboratorio, arrastra el vértice rojo: el panel reescribe a la vez la forma canónica y la forma general, así que puedes ver cómo cambian b y c mientras la forma de la curva sigue igual.