La parabole
Élève au carré les nombres de −3 à 3 : tu obtiens 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Les points correspondants dessinent une courbe en U appelée parabole.
Règle a sur 2, puis sur 1/2, puis sur −1
Commence par le laboratoire, pas par les définitions. Il affiche y = x² à côté d'une copie en pointillés qui reste fixe. Règle a sur 2. La courbe se resserre et atteint déjà 8 pour x = 2. Essaie maintenant 1/2, puis −1. L'un élargit la courbe ; l'autre la retourne. Garde ces trois images en tête : la suite les explique.
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Pourquoi −2 et 2 donnent la même hauteur
Les droites correspondent à des équations où x apparaît seulement à la puissance 1. Introduis x² dans l'équation et le graphique se courbe. Le cas le plus simple est y = x². Construis un tableau : x = −3 donne 9, x = −2 donne 4, x = −1 donne 1, x = 0 donne 0, puis les mêmes résultats reviennent dans l'ordre inverse pour x = 1, 2 et 3. Deux valeurs différentes, comme −2 et 2, donnent le même résultat, car le carré d'un nombre négatif est positif. Relie les points par une courbe régulière : tu obtiens un U dont le point le plus bas est l'origine et qui monte de plus en plus vite de chaque côté.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y = x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Une fonction qui s'écrit f(x) = ax² + bx + c, avec a différent de 0, est une fonction du second degré. OpenStax appelle cette écriture la forme générale. Sa courbe est toujours une parabole. Si a valait 0, le terme en x² disparaîtrait et on retrouverait une droite : cette condition est donc essentielle. Les nombres b et c peuvent être nuls : y = x², y = 3x² − 5 et y = −x² + 4x sont toutes des fonctions du second degré. Pour x = 0, il reste seulement c : c est donc l'ordonnée à l'origine, là où la parabole coupe l'axe des ordonnées.
Plie la courbe suivant x = 1 : les deux moitiés se superposent
Chaque parabole possède un point où elle change de sens : le sommet. Si elle est ouverte vers le haut, le sommet est son point le plus bas et son ordonnée est le minimum de la fonction. Si elle est ouverte vers le bas, le sommet est son point le plus haut et donne le maximum. Une droite verticale appelée axe de symétrie passe par le sommet. Plie le graphique suivant cette droite : les deux moitiés se superposent. Cela économise du travail. Dès que tu connais un point de la courbe, son symétrique par rapport à l'axe t'en donne un second. Vu de côté, un tir de basket décrit presque le même arc, dont le point le plus haut est le sommet.
Pourquoi a = 2 resserre la courbe et a = −1 la retourne
Le signe de a détermine le sens d'ouverture. Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut, comme une coupe ; si a < 0, elle est ouverte vers le bas, comme une coupe retournée. La valeur absolue de a détermine sa largeur. Avec y = 2x², chaque résultat vaut le double de celui de y = x² : la courbe monte deux fois plus vite et paraît plus étroite ; pour x = 2, elle atteint déjà 8. Avec y = (1/2)x², les résultats sont divisés par deux et la courbe est plus large : pour x = 2, elle atteint seulement 2. Plus |a| est grand, plus la parabole est étroite ; plus |a| est petit, plus elle est large. C'est ce que montrait le laboratoire : avec a = 2, la courbe se rapprochait de l'axe des ordonnées ; avec 1/2, elle s'élargissait ; avec −1, elle se retournait.
- Pour f(x) = x², combien vaut f(−4) ?
- Pour y = 3x², combien vaut y quand x = −2 ?
- Quelle parabole est ouverte vers le bas ?
- y = −2x² + 1
- y = 2x² − 1
- y = x² − 9
- y = (1/2)x²
- Quelle parabole est la plus étroite ?
- y = 3x²
- y = x²
- y = (1/2)x²
- y = −(1/3)x²
- Quelle est l'ordonnée à l'origine de y = x² − 4x + 7 ? Donne la valeur de y.
- Une parabole a pour axe de symétrie x = 3 et passe par (1, 5). Par quel autre point passe-t-elle nécessairement ?
- (5, 5)
- (1, −5)
- (3, 5)
- (−1, 5)
- Quel est le sommet de y = x² + 2 ?
- (0, 2)
- (2, 0)
- (0, −2)
- (−2, 0)
- Laquelle de ces fonctions est du second degré ?
- y = 5 − x²
- y = 4x − 3
- y = 7
- y = 2/x
- Quel est le maximum de y = −x² + 4 ?
- Sur y = x² − 1, combien vaut y pour x = −2 ? (C'est aussi sa valeur pour x = 2.)
| Parabole | Courbe en U représentant une fonction du second degré |
| Sommet | Point où la courbe change de sens : le plus bas si a > 0, le plus haut si a < 0 |
| Axe de symétrie | Droite verticale passant par le sommet |
| Ordonnée à l'origine de ax² + bx + c | (0, c) |
- Écrire −3² = −9 pour le point d'abscisse x = −3 sur y = x². −3² signifie −(3²). La valeur entrée est le nombre entier −3, il faut donc écrire (−3)² = 9, et le point est (−3, 9). Mets une valeur négative entre parenthèses avant de l'élever au carré.
- Dire que y = −2x² est plus large que y = x² parce que −2 est inférieur à 1. La largeur dépend de |a|, pas de a. |−2| = 2 est supérieur à 1 : y = −2x² est donc la plus étroite. Le signe moins la retourne seulement.
- Lire −2 comme ordonnée à l'origine de y = (x − 1)² − 2. c est l'ordonnée à l'origine seulement dans l'écriture ax² + bx + c. Ici, pose plutôt x = 0 : (0 − 1)² − 2 = 1 − 2 = −1. La courbe coupe donc l'axe des ordonnées en (0, −1), comme sur la figure.
- f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 est une fonction du second degré ; sa courbe est une parabole.
- a > 0 : ouverture vers le haut ; a < 0 : vers le bas. Plus |a| est grand, plus la courbe est étroite.
- Le sommet est le point le plus bas ou le plus haut ; l'axe de symétrie le traverse.
- Le point d'intersection avec l'axe des ordonnées est (0, c).
Sources de ce cours (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Consulté le: 2026-10-18