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ホーム›代数›二次関数と二次方程式

因数分解で解く

(x − 2)(x + 3) = 0なら、x − 2 = 0またはx + 3 = 0なので、解は2と−3です。他の数では積は0になりません。

両辺をxで割ると解が1つ消えます

x² = 5xを解くとき、両辺をxで割ってx = 5としたくなります。25 = 25なので確かに成立します。しかしx = 0も0 = 0となる解なのに、消えてしまいました。xで割れるのはxが0でないときだけで、捨てた解はまさに0でした。安全なのは片側へまとめる方法です。x² − 5x = 0からx(x − 5) = 0となり、0と5の両方が出ます。このページではこの方法を扱います。

積が0なら、少なくとも一方の因数が0です

二次方程式は2次式を含む方程式で、通常ax² + bx + c = 0と書きます。因数分解が最も簡単な解き方になることがよくあります。根拠は「積が0なら、少なくとも一方の因数が0」という性質です。a · b = 0ならa = 0またはb = 0です。何に0を掛けても0ですが、0でない2数の積は0になりません。左辺を簡単な2因数の積にできれば、難しい問題を簡単な2つの問題に分けられます。

因数分解は掛け算を逆にたどることです。OpenStaxの例(x − 2)(x + 3)を展開すると、x² + 3x − 2x − 6 = x² + x − 6です。したがってx² + x − 6 = 0は(x − 2)(x + 3) = 0と書けます。積が0になる性質より、x − 2 = 0またはx + 3 = 0なので、x = 2またはx = −3です。確認すると4 + 2 − 6 = 0、9 − 3 − 6 = 0です。y = x² + x − 6のグラフでは、この2つがx軸との交点のx座標です。

積が6、和が−5：x² − 5x + 6に合う組

x² + bx + cでは、積がc、和がbになる2数を探します。x² − 5x + 6なら積は6、和は−5です。積が6になる組は1と6、2と3、および両方が負の組ですが、和が−5になるのは−2と−3だけです。したがってx² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)で、解は2と3です。符号も手掛かりです。cが正なら2数は同符号でbと同じ符号、cが負なら一方が正でもう一方が負です。

2つの形を見分けましょう。まず共通因数です。3x² − 12x = 0は両項に3xがあるので、3x(x − 4) = 0となり、x = 0またはx = 4です。両辺をxで割らないでください。冒頭と同じく解0を捨ててしまいます。次に平方の差です。x² − 4 = (x − 2)(x + 2)なので、x² − 4 = 0の解はx = 2またはx = −2です。平方根を使っても、x² = 4からx = ±2と求められます。

aが1でないと、組探しに少し手間がかかります。2x² + 5x − 3 = 0ならpq = −3として(2x + p)(x + q)を試します。p = −1、q = 3なら、(2x − 1)(x + 3) = 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3です。各因数を0とするとx = 1/2とx = −3です。整数の組が見つからず簡単に因数分解できなくても、次の単元の解の公式なら解けます。

面積40 m²の長方形と、採用しない解

長方形の縦は横より3メートル長く、面積は40平方メートルです。横をwとすると縦はw + 3なので、w(w + 3) = 40、つまりw² + 3w − 40 = 0です。積が−40、和が3の2数は8と−5なので、(w + 8)(w − 5) = 0よりw = −8またはw = 5です。横の長さは負にならないため、横5 m、縦8 mです。5 × 8 = 40と確認できます。状況に合わない解を除くのも通常の手順です。

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y = (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6です。赤い零点をx軸に沿ってドラッグすると、パネルが積を展開し、a = 1のときbは零点の和に負号を付けた値、cはその積だと示します。
  1. x² − 5x + 6 = 0の解は何ですか。
    • 2と3
    • −2と−3
    • 1と6
    • −1と6
  2. x² + 7x + 12を因数分解するとどうなりますか。
    • (x + 3)(x + 4)
    • (x + 2)(x + 6)
    • (x − 3)(x − 4)
    • (x + 1)(x + 12)
  3. x² − 9 = 0の正の解は何ですか。
  4. x² + x − 6 = 0の負の解は何ですか。
  5. 3x² − 12x = 0の0でない解は何ですか。
  6. 2x² + 5x − 3 = 0の正の解を分数で答えてください。
  7. 積が−12、和が−1になる2数は何ですか。
    • −4と3
    • 4と−3
    • −6と2
    • −12と1
  8. 縦が横より3 m長く、面積が40 m²の長方形です。横は何メートルですか。
  9. 積が0になる性質を表すのはどれですか。
    • a · b = 0なら、a = 0またはb = 0です
    • a · b = 1なら、a = 1かつb = 1です
    • a + b = 0なら、a = 0かつb = 0です
    • a = 0なら、a + b = 0です
  10. (x − 4)² = 0を解きましょう。
よくある間違い
  • (x − 5)(x + 1) = 0を、x = −5またはx = 1と解きます。 各因数を0とします。x − 5 = 0から5、x + 1 = 0から−1です。解の符号は、括弧内に書かれた数と逆になります。
  • (x − 1)(x − 2) = 6から、x − 1 = 6またはx − 2 = 6とします。 積が0になる性質には右辺が0であることが必要です。その方法ではx = 7とx = 8ですが、(6)(5) = 30、(7)(6) = 42で、どちらも6ではありません。先に展開してx² − 3x + 2 = 6、次にx² − 3x − 4 = 0、(x − 4)(x + 1) = 0とすれば、x = 4またはx = −1です。
  • x² + 2x − 15を(x − 5)(x + 3)と因数分解します。 掛け戻すと(x − 5)(x + 3) = x² − 2x − 15です。積−15は正しくても、和は2でなく−2です。符号を入れ替え、(x + 5)(x − 3)とします。
  • 2x² = 7xをxで割り、x = 7/2だけを答えます。 x = 0も0 = 0となる解です。片側にまとめて因数分解するとx(2x − 7) = 0なので、x = 0またはx = 7/2です。
先生からひとこと方程式に入る前に、5分ほど括弧を展開する練習をしましょう。因数分解は掛け算を逆に読むことなので、(x − 4)(x + 3)をすぐ展開できれば、x² − x − 12の組を探す試行錯誤が減ります。長さ、価格、時間の問題では、両方の解が状況に合うか毎回確認しましょう。
ポイント
  • まずax² + bx + c = 0の形にします。
  • 積が0になる性質：a · b = 0なら、a = 0またはb = 0です。
  • x² + bx + cでは、積がc、和がbになる2数を探します。
  • xで割るのではなく共通因数でくくり、すべての解を確認します。
このコースの出典 (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

確認日: 2026-10-18