Il discriminante
Per x² + 2x + 5 = 0, b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Un solo numero negativo ti dice, prima di risolvere qualsiasi cosa, che la parabola non tocca mai l'asse x.
Il getto della fontana raggiungerà 5 metri?
Immagina una fontana in un parco. Il getto parte da un ugello a terra e ricade a 4 metri di distanza; a x metri dall'ugello la sua altezza è y = −x² + 4x metri. (La fontana e i numeri sono inventati.) L'acqua raggiunge 5 metri? Poni −x² + 4x = 5 e riordina: x² − 4x + 5 = 0. Allora b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Negativo. Nessun x reale funziona: l'acqua non arriva mai così in alto. Prova invece 3 metri. x² − 4x + 3 = 0 dà 16 − 12 = 4: il getto passa a quell'altezza due volte, per x = 1 e x = 3. A 4 metri il numero è 16 − 16 = 0, e il getto raggiunge quell'altezza una sola volta, nel punto più alto, x = 2. Per rispondere alla prima domanda non è servita alcuna radice, solo il segno di b² − 4ac.
b² − 4ac decide quante soluzioni ci sono
Nella formula risolutiva, l'espressione b² − 4ac si trova sotto la radice quadrata. Si chiama discriminante perché distingue i tipi di soluzioni di un'equazione. Il suo segno decide tutto. Se è positivo, la radice quadrata è reale e il ± dà due soluzioni diverse. Se è zero, il ± aggiunge e sottrae nulla, quindi le risposte coincidono. Se è negativo, non esiste una radice quadrata reale e l'equazione non ha soluzioni reali.
OpenStax distingue due casi quando è positivo. Se b² − 4ac è un quadrato perfetto positivo, come 1, 16 o 25, la sua radice è un intero e le due soluzioni sono razionali: l'equazione si poteva anche scomporre. Se è positivo ma non è un quadrato perfetto, come 5 o 17, le soluzioni contengono una radice irrazionale. La tabella raccoglie tutti e quattro i casi. Nel caso negativo le soluzioni sono numeri complessi, che coinvolgono la radice quadrata di un numero negativo; appartengono a un corso successivo e non compaiono su un grafico di numeri reali.
| b² − 4ac | Soluzioni | Esempio |
|---|---|---|
| quadrato positivo | due razionali, 2 intersezioni con l'asse x | x² − 5x + 6: 1 |
| positivo, non quadrato | due irrazionali, 2 intersezioni con l'asse x | x² + x − 1: 5 |
| zero | una radice doppia, contatto nel vertice | x² − 4x + 4: 0 |
| negativo | nessuna soluzione reale, nessuna intersezione con l'asse x | x² + 2x + 5: −16 |
Due intersezioni, un contatto oppure nessuno
Le soluzioni di ax² + bx + c = 0 sono le intersezioni di y = ax² + bx + c con l'asse x, quindi il discriminante ne conta anche il numero. Un discriminante positivo significa che la parabola attraversa l'asse x due volte. Zero significa che lo tocca soltanto nel vertice: ecco perché il vertice di y = (x − 3)² si trova sull'asse. Un discriminante negativo significa che tutta la parabola resta sopra l'asse (se a > 0) o sotto (se a < 0). Per y = 2x² − 3x + 5, b² − 4ac = 9 − 40 = −31, e poiché a > 0 la curva resta sopra l'asse.
A ritroso: quale c fa toccare l'asse alla curva?
Poiché il discriminante è una formula in a, b e c, puoi procedere a ritroso. Quale c fa sì che x² − 6x + c tocchi l'asse x esattamente una volta? Poni il discriminante uguale a zero: 36 − 4c = 0, quindi c = 9; infatti x² − 6x + 9 = (x − 3)². Quale k positivo dà a x² + kx + 9 = 0 una radice doppia? k² − 36 = 0, quindi k = 6. La domanda sulla fontana usava lo stesso approccio. Chiediti se una soluzione esiste prima di dedicare tempo a trovarla.
Il laboratorio parte da y = x² − 4x + 4, il cui discriminante è 0. Abbassa c di uno e il discriminante diventa positivo: compaiono due intersezioni. Alza c e diventa negativo: la parabola si stacca dall'asse. Osserva il pannello: calcola b² − 4ac con i tuoi numeri e indica il caso.
Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.
- Qual è il discriminante di x² − 5x + 6 = 0?
- Qual è il discriminante di 3x² + 2x − 1 = 0?
- Qual è il discriminante di 2x² − 3x + 5 = 0?
- Quante soluzioni reali ha x² − 4x + 4 = 0?
- Una (radice doppia)
- Due
- Nessuna
- Infinite
- Che tipo di soluzioni ha x² + x − 1 = 0?
- Due irrazionali
- Due razionali
- Una radice doppia
- Nessuna soluzione reale
- Che tipo di soluzioni ha x² + 2x + 5 = 0?
- Nessuna soluzione reale
- Due razionali
- Due irrazionali
- Una radice doppia
- Per quale k positivo x² + kx + 9 = 0 ha esattamente una soluzione?
- Quante intersezioni con l'asse x ha y = −x² + 4x − 5?
- Quale c fa sì che y = x² − 6x + c tocchi l'asse x esattamente una volta?
- Un'equazione di secondo grado ha discriminante 49. Come sono le sue soluzioni?
- Due soluzioni razionali
- Due soluzioni irrazionali
- Una radice doppia
- Nessuna soluzione reale
- Scrivere b² = −25 quando b = −5. Il quadrato di un numero negativo è positivo: (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Per x² − 5x + 4 = 0, l'errore dà −25 − 16 = −41 e il verdetto «nessuna soluzione reale», ma il valore corretto è 25 − 16 = 9, e sia 1 sia 4 funzionano.
- Considerare −4ac negativo quando c è negativo, come in x² + 4x − 5 = 0: 16 − 20 = −4. −4(1)(−5) = +20, quindi b² − 4ac = 16 + 20 = 36 e le soluzioni sono 1 e −5. Quando a e c hanno segni opposti, −4ac è positivo: il discriminante è quindi positivo e ci sono sempre due soluzioni reali.
- Pensare che un discriminante pari a 0 significhi nessuna soluzione. Zero significa una soluzione, una radice doppia. x² − 8x + 16 = 0 ha b² − 4ac = 64 − 64 = 0 e x = 4. L'assenza di soluzioni reali corrisponde a un discriminante negativo.
- Pensare che un discriminante negativo significhi soluzioni negative. Il segno del discriminante non dice nulla sui segni delle radici. x² + 4x + 3 = 0 ha b² − 4ac = 16 − 12 = 4, positivo, ma entrambe le radici, −1 e −3, sono negative.
- Il discriminante è b² − 4ac, l'espressione sotto la radice quadrata.
- Positivo: due soluzioni reali (razionali se è un quadrato perfetto). Zero: una radice doppia. Negativo: nessuna soluzione reale.
- Conta anche le intersezioni con l'asse x: 2, 1 oppure 0.
- Ponilo uguale a 0 per trovare il valore che fa toccare l'asse alla parabola.
Fonti di questo corso (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Consultato il: 2026-10-18