De discriminant
Bij x² + 2x + 5 = 0 is b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Dat negatieve getal vertelt zonder oplossen dat de parabool de x-as nooit raakt.
Haalt de fontein 5 meter?
Stel je een fontein in een park voor. De straal vertrekt uit een spuitmond op de grond en landt 4 meter verder. Op x meter van de spuitmond is zijn hoogte y = −x² + 4x meter. De fontein en getallen zijn verzonnen. Bereikt het water 5 meter? Stel −x² + 4x = 5 en herschrijf: x² − 4x + 5 = 0. Dan is b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Negatief. Geen reële x voldoet, dus zo hoog komt het water nooit. Probeer 3 meter. x² − 4x + 3 = 0 geeft 16 − 12 = 4. De straal passeert die hoogte tweemaal, bij x = 1 en x = 3. Bij 4 meter krijg je 16 − 16 = 0. Die hoogte raakt hij maar eenmaal, bovenaan bij x = 2. Voor de eerste vraag hoefde je geen enkele wortel te berekenen, alleen het teken van b² − 4ac.
b² − 4ac bepaalt het aantal oplossingen
In de abc-formule staat b² − 4ac onder het wortelteken. Deze uitdrukking heet de discriminant, omdat zij de soorten oplossingen onderscheidt. Haar teken bepaalt alles. Is zij positief, dan is de wortel een reëel getal en geeft ± twee verschillende oplossingen. Is zij nul, dan tel je met ± niets op of af en krijg je tweemaal hetzelfde getal. Is zij negatief, dan bestaat er geen reële vierkantswortel en heeft de vergelijking geen reële oplossingen.
OpenStax verdeelt het positieve geval nog in tweeën. Is b² − 4ac een positief volkomen kwadraat, zoals 1, 16 of 25, dan is de wortel een geheel getal. De twee oplossingen zijn rationaal en je had de vergelijking ook kunnen ontbinden. Is zij positief maar geen volkomen kwadraat, zoals 5 of 17, dan bevatten de oplossingen een irrationale wortel. De tabel bundelt de vier gevallen. Bij een negatieve discriminant zijn de oplossingen complexe getallen, met een wortel uit een negatief getal. Die horen bij een latere cursus en verschijnen niet op een grafiek van reële getallen.
| b² − 4ac | Oplossingen | Voorbeeld |
|---|---|---|
| positief kwadraat | twee rationale, 2 x-assnijpunten | x² − 5x + 6: 1 |
| positief, geen kwadraat | twee irrationale, 2 x-assnijpunten | x² + x − 1: 5 |
| nul | één dubbele wortel, raakt in de top | x² − 4x + 4: 0 |
| negatief | geen reële oplossingen, geen x-assnijpunten | x² + 2x + 5: −16 |
Twee snijpunten, één raakpunt of geen
De oplossingen van ax² + bx + c = 0 zijn de snijpunten van y = ax² + bx + c met de x-as. De discriminant telt dus ook die snijpunten. Een positieve discriminant betekent dat de parabool de x-as tweemaal kruist. Bij nul raakt zij de as alleen in haar top. Daarom ligt de top van y = (x − 3)² op de as. Bij een negatieve discriminant blijft de hele parabool boven de as als a > 0, of eronder als a < 0. Bij y = 2x² − 3x + 5 is b² − 4ac = 9 − 40 = −31. Omdat a > 0 ligt de kromme geheel boven de as.
Terugrekenen: welke c geeft raken aan de as?
Omdat de discriminant een formule met a, b en c is, kun je terugrekenen. Voor welke c raakt x² − 6x + c de x-as precies één keer? Stel de discriminant gelijk aan nul: 36 − 4c = 0, dus c = 9. Inderdaad is x² − 6x + 9 = (x − 3)². Welke positieve k geeft x² + kx + 9 = 0 een dubbele wortel? k² − 36 = 0, dus k = 6. Bij de fontein gebruikten we dezelfde aanpak. Vraag eerst of een oplossing bestaat voordat je tijd aan het zoeken besteedt.
Het practicum begint bij y = x² − 4x + 4, met discriminant 0. Verlaag c met één en de discriminant wordt positief: er verschijnen twee snijpunten. Verhoog c en zij wordt negatief: de parabool komt los van de as. Bekijk het paneel. Het berekent b² − 4ac met jouw getallen en benoemt het geval.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
- Discriminant van x² − 5x + 6 = 0?
- Discriminant van 3x² + 2x − 1 = 0?
- Discriminant van 2x² − 3x + 5 = 0?
- Hoeveel reële oplossingen heeft x² − 4x + 4 = 0?
- Eén (dubbele wortel)
- Twee
- Geen
- Oneindig veel
- Wat voor oplossingen heeft x² + x − 1 = 0?
- Twee irrationale
- Twee rationale
- Eén dubbele wortel
- Geen reële oplossingen
- Wat voor oplossingen heeft x² + 2x + 5 = 0?
- Geen reële oplossingen
- Twee rationale
- Twee irrationale
- Eén dubbele wortel
- Voor welke positieve k heeft x² + kx + 9 = 0 precies één oplossing?
- Hoeveel x-assnijpunten heeft y = −x² + 4x − 5?
- Welke c laat y = x² − 6x + c precies eenmaal raken?
- Een kwadratische vergelijking heeft discriminant 49. Welke oplossingen?
- Twee rationale oplossingen
- Twee irrationale oplossingen
- Eén dubbele wortel
- Geen reële oplossingen
- b² = −25 schrijven bij b = −5. Een negatief getal kwadrateren geeft positief: (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Bij x² − 5x + 4 = 0 geeft de fout −25 − 16 = −41 en ‘geen reële oplossingen’. Juist is 25 − 16 = 9; zowel 1 als 4 werkt.
- −4ac negatief noemen bij negatieve c, zoals x² + 4x − 5 = 0: 16 − 20 = −4. −4(1)(−5) = +20, dus b² − 4ac = 16 + 20 = 36, met oplossingen 1 en −5. Bij tegengestelde tekens van a en c is −4ac positief: de discriminant is positief en er zijn altijd twee reële oplossingen.
- Discriminant 0 opvatten als geen oplossing. Nul geeft één dubbele wortel. x² − 8x + 16 = 0 heeft b² − 4ac = 64 − 64 = 0 en x = 4. Geen reële oplossing hoort bij een negatieve discriminant.
- Denken dat een negatieve discriminant negatieve oplossingen betekent. Het discriminantteken zegt niets over worteltekens. x² + 4x + 3 = 0 heeft b² − 4ac = 16 − 12 = 4, positief, maar beide wortels −1 en −3 zijn negatief.
- De discriminant is b² − 4ac, het deel onder de wortel.
- Positief: twee reële oplossingen, rationaal bij een kwadraat. Nul: één dubbele wortel. Negatief: geen reële oplossingen.
- Hij telt ook x-assnijpunten: 2, 1 of 0.
- Stel hem gelijk aan 0 voor de waarde waarbij de parabool de as raakt.
Bronnen van deze cursus (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Geraadpleegd: 2026-10-18