O discriminante
Para x² + 2x + 5 = 0, b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Um único número negativo diz, antes de resolver qualquer coisa, que a parábola nunca toca o eixo x.
O jato do chafariz chega a 5 metros?
Imagine um chafariz numa praça. O jato sai de um bocal no chão e cai 4 metros adiante, e a x metros do bocal sua altura é y = −x² + 4x metros. (O chafariz e seus números são inventados.) A água chega a 5 metros? Faça −x² + 4x = 5 e arrume: x² − 4x + 5 = 0. Então b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Negativo. Nenhum x real serve, então a água nunca chega tão alto. Tente 3 metros. x² − 4x + 3 = 0 dá 16 − 12 = 4, então o jato passa por essa altura duas vezes, em x = 1 e x = 3. A 4 metros o número é 16 − 16 = 0, e o jato toca essa altura uma só vez, no topo, x = 2. Para responder à primeira pergunta não foi preciso nenhuma raiz, só o sinal de b² − 4ac.
b² − 4ac decide quantas soluções existem
Na fórmula resolutiva, a expressão b² − 4ac fica dentro da raiz quadrada. Ela se chama discriminante, porque discrimina, isto é, distingue, os tipos de solução que uma equação tem. O sinal dele decide tudo. Se for positivo, a raiz quadrada é um número real e o ± dá duas soluções diferentes. Se for zero, o ± soma e subtrai nada, e as duas respostas são o mesmo número. Se for negativo, não existe raiz quadrada real, e a equação não tem soluções reais.
O OpenStax divide o caso positivo em dois. Quando b² − 4ac é um quadrado perfeito positivo, como 1, 16 ou 25, sua raiz quadrada é um número inteiro e as duas soluções são racionais, então a equação também poderia ter sido fatorada. Quando é positivo mas não é quadrado perfeito, como 5 ou 17, as soluções contêm uma raiz quadrada irracional. A tabela reúne os quatro casos. No caso negativo, as soluções são números complexos, que envolvem a raiz quadrada de um número negativo; eles ficam para um curso posterior e não aparecem num gráfico de números reais.
| b² − 4ac | Soluções | Exemplo |
|---|---|---|
| quadrado positivo | duas racionais, 2 zeros | x² − 5x + 6: 1 |
| positivo, não quadrado | duas irracionais, 2 zeros | x² + x − 1: 5 |
| zero | uma raiz dupla, toca no vértice | x² − 4x + 4: 0 |
| negativo | nenhuma solução real, nenhum zero | x² + 2x + 5: −16 |
Dois cortes, um toque ou nenhum
As soluções de ax² + bx + c = 0 são os zeros de y = ax² + bx + c, então o discriminante também conta os pontos de corte com o eixo x. Discriminante positivo quer dizer que a parábola corta o eixo x duas vezes. Zero quer dizer que ela só encosta no eixo, no vértice; é por isso que o vértice de y = (x − 3)² fica sobre o eixo. Discriminante negativo quer dizer que a parábola inteira fica acima do eixo (se a > 0) ou abaixo dele (se a < 0). Para y = 2x² − 3x + 5, b² − 4ac = 9 − 40 = −31 e, como a > 0, a curva flutua acima do eixo.
De trás para frente: que c faz a curva tocar o eixo?
Como o discriminante é uma fórmula em a, b e c, dá para trabalhar de trás para frente. Que c faz x² − 6x + c tocar o eixo x exatamente uma vez? Iguale o discriminante a zero: 36 − 4c = 0, então c = 9, e de fato x² − 6x + 9 = (x − 3)². Que k positivo dá a x² + kx + 9 = 0 uma raiz dupla? k² − 36 = 0, então k = 6. A pergunta do chafariz usou o mesmo hábito. Pergunte se a solução existe antes de gastar tempo procurando por ela.
O laboratório começa em y = x² − 4x + 4, cujo discriminante é 0. Desça c uma unidade e o discriminante fica positivo: aparecem dois zeros. Suba c e ele fica negativo: a parábola se descola do eixo. Observe o painel: ele calcula b² − 4ac com os seus números e diz qual é o caso.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
- Qual é o discriminante de x² − 5x + 6 = 0?
- Qual é o discriminante de 3x² + 2x − 1 = 0?
- Qual é o discriminante de 2x² − 3x + 5 = 0?
- Quantas soluções reais tem x² − 4x + 4 = 0?
- Uma (raiz dupla)
- Duas
- Nenhuma
- Infinitas
- Que tipo de soluções tem x² + x − 1 = 0?
- Duas irracionais
- Duas racionais
- Uma raiz dupla
- Nenhuma solução real
- Que tipo de soluções tem x² + 2x + 5 = 0?
- Nenhuma solução real
- Duas racionais
- Duas irracionais
- Uma raiz dupla
- Para que k positivo x² + kx + 9 = 0 tem exatamente uma solução?
- Quantos zeros tem y = −x² + 4x − 5?
- Que c faz y = x² − 6x + c tocar o eixo x exatamente uma vez?
- Uma equação do segundo grau tem discriminante 49. Como são suas soluções?
- Duas soluções racionais
- Duas soluções irracionais
- Uma raiz dupla
- Nenhuma solução real
- Escrever b² = −25 quando b = −5. Elevar um número negativo ao quadrado dá um positivo: (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Em x² − 5x + 4 = 0, o deslize dá −25 − 16 = −41 e o veredito "sem soluções reais", mas o valor certo é 25 − 16 = 9, e tanto 1 quanto 4 servem.
- Tratar −4ac como negativo quando c é negativo, como em x² + 4x − 5 = 0: 16 − 20 = −4. −4(1)(−5) = +20, então b² − 4ac = 16 + 20 = 36 e as soluções são 1 e −5. Sempre que a e c têm sinais opostos, −4ac é positivo, então o discriminante é positivo e há sempre duas soluções reais.
- Achar que discriminante 0 quer dizer que não há solução. Zero quer dizer uma solução, uma raiz dupla. x² − 8x + 16 = 0 tem b² − 4ac = 64 − 64 = 0 e x = 4. A falta de solução real vem com discriminante negativo.
- Achar que discriminante negativo quer dizer soluções negativas. O sinal do discriminante não diz nada sobre o sinal das raízes. x² + 4x + 3 = 0 tem b² − 4ac = 16 − 12 = 4, que é positivo, e suas duas raízes, −1 e −3, são negativas.
- O discriminante é b² − 4ac, a parte dentro da raiz quadrada.
- Positivo: duas soluções reais (racionais se for quadrado perfeito). Zero: uma raiz dupla. Negativo: nenhuma solução real.
- Ele também conta os pontos de corte com o eixo x: 2, 1 ou 0.
- Iguale-o a 0 para achar o valor que faz a parábola tocar o eixo.
Fontes deste curso (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
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Data de verificação: 2026-10-18