Diskriminante
Für x² + 2x + 5 = 0 gilt b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Schon diese negative Zahl verrät ohne Lösen: Die Parabel berührt die x-Achse nie.
Erreicht der Springbrunnenstrahl 5 Meter?
Stell dir einen Springbrunnen im Park vor. Der Strahl verlässt eine Düse am Boden und landet 4 Meter entfernt. Im Abstand x Meter von der Düse beträgt seine Höhe y = −x² + 4x Meter. (Brunnen und Zahlen sind erfunden.) Erreicht das Wasser 5 Meter? Setze −x² + 4x = 5 und forme um: x² − 4x + 5 = 0. Dann b² − 4ac = 16 − 20 = −4. Negativ. Kein reelles x passt, also erreicht das Wasser diese Höhe nie. Probiere stattdessen 3 Meter: x² − 4x + 3 = 0 liefert 16 − 12 = 4. Der Strahl passiert diese Höhe zweimal, bei x = 1 und x = 3. Bei 4 Metern ist der Wert 16 − 16 = 0. Diese Höhe erreicht der Strahl nur einmal am höchsten Punkt, x = 2. Für die erste Frage musste keine Lösung berechnet werden, nur das Vorzeichen von b² − 4ac.
b² − 4ac entscheidet über die Anzahl der Lösungen
In der Mitternachtsformel steht b² − 4ac unter der Wurzel. Dieser Ausdruck heißt Diskriminante, weil er die Arten der Lösungen unterscheidet. Sein Vorzeichen entscheidet: Ist er positiv, ist die Wurzel reell und ± liefert zwei verschiedene Lösungen. Ist er null, wird bei ± nichts addiert oder subtrahiert. Beide Ergebnisse sind dieselbe Zahl. Ist er negativ, gibt es keine reelle Wurzel und die Gleichung hat keine reellen Lösungen.
OpenStax unterteilt den positiven Fall. Ist b² − 4ac eine positive Quadratzahl wie 1, 16 oder 25, ist ihre Wurzel ganzzahlig und beide Lösungen sind rational. Die Gleichung hätte sich auch faktorisieren lassen. Ist der Wert positiv, aber keine Quadratzahl, etwa 5 oder 17, enthalten die Lösungen eine irrationale Wurzel. Die Tabelle zeigt alle vier Fälle. Im negativen Fall sind die Lösungen komplexe Zahlen mit der Wurzel einer negativen Zahl. Sie gehören in einen späteren Kurs und erscheinen nicht im reellen Koordinatensystem.
| b² − 4ac | Lösungen | Beispiel |
|---|---|---|
| positive Quadratzahl | zwei rationale Lösungen, 2 Schnittpunkte mit der x-Achse | x² − 5x + 6: 1 |
| positiv, keine Quadratzahl | zwei irrationale Lösungen, 2 Schnittpunkte mit der x-Achse | x² + x − 1: 5 |
| null | eine doppelte Nullstelle, Berührung am Scheitelpunkt | x² − 4x + 4: 0 |
| negativ | keine reellen Lösungen, keine Schnittpunkte mit der x-Achse | x² + 2x + 5: −16 |
Zweimal schneiden, einmal berühren oder kein Schnittpunkt
Die Lösungen von ax² + bx + c = 0 entsprechen den Schnittpunkten von y = ax² + bx + c mit der x-Achse. Die Diskriminante zählt also auch diese Schnittpunkte. Positiv bedeutet: Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Null bedeutet: Sie berührt die Achse am Scheitelpunkt. Deshalb liegt der Scheitelpunkt von y = (x − 3)² auf der Achse. Bei negativer Diskriminante bleibt die ganze Parabel oberhalb der Achse (für a > 0) oder unterhalb (für a < 0). Für y = 2x² − 3x + 5 gilt b² − 4ac = 9 − 40 = −31. Weil a > 0, liegt die Kurve oberhalb der Achse.
Rückwärts denken: Bei welchem c berührt die Kurve die Achse?
Weil die Diskriminante eine Formel aus a, b und c ist, kannst du rückwärts rechnen. Bei welchem c berührt x² − 6x + c die x-Achse genau einmal? Setze die Diskriminante null: 36 − 4c = 0, also c = 9. Tatsächlich gilt x² − 6x + 9 = (x − 3)². Welches positive k gibt x² + kx + 9 = 0 eine doppelte Lösung? k² − 36 = 0, also k = 6. Beim Springbrunnen war es dieselbe Denkweise: Frage erst, ob eine Lösung existiert, bevor du Zeit in ihre Berechnung steckst.
Das Labor beginnt mit y = x² − 4x + 4 und Diskriminante 0. Verringere c um eins: Die Diskriminante wird positiv und zwei Schnittpunkte erscheinen. Erhöhe c: Sie wird negativ und die Parabel hebt sich von der Achse ab. Die Anzeige berechnet b² − 4ac mit deinen Zahlen und benennt den Fall.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
- Was ist die Diskriminante von x² − 5x + 6 = 0?
- Was ist die Diskriminante von 3x² + 2x − 1 = 0?
- Was ist die Diskriminante von 2x² − 3x + 5 = 0?
- Wie viele reelle Lösungen hat x² − 4x + 4 = 0?
- Eine (doppelte Lösung)
- Zwei
- Keine
- Unendlich viele
- Welche Art von Lösungen hat x² + x − 1 = 0?
- Zwei irrationale
- Zwei rationale
- Eine doppelte Lösung
- Keine reellen Lösungen
- Welche Art von Lösungen hat x² + 2x + 5 = 0?
- Keine reellen Lösungen
- Zwei rationale
- Zwei irrationale
- Eine doppelte Lösung
- Für welches positive k hat x² + kx + 9 = 0 genau eine Lösung?
- Wie viele Schnittpunkte mit der x-Achse hat y = −x² + 4x − 5?
- Bei welchem c berührt y = x² − 6x + c die x-Achse genau einmal?
- Eine quadratische Gleichung hat die Diskriminante 49. Was gilt für ihre Lösungen?
- Zwei rationale Lösungen
- Zwei irrationale Lösungen
- Eine doppelte Lösung
- Keine reellen Lösungen
- Bei b = −5 wird b² = −25 geschrieben. Das Quadrat einer negativen Zahl ist positiv: (−5)² = (−5) × (−5) = 25. Bei x² − 5x + 4 = 0 ergibt der Fehler −25 − 16 = −41 und die falsche Aussage „keine reellen Lösungen“. Richtig ist 25 − 16 = 9. Sowohl 1 als auch 4 erfüllen die Gleichung.
- −4ac wird bei negativem c als negativ behandelt, etwa bei x² + 4x − 5 = 0: 16 − 20 = −4. −4(1)(−5) = +20, also b² − 4ac = 16 + 20 = 36. Die Lösungen sind 1 und −5. Haben a und c entgegengesetzte Vorzeichen, ist −4ac positiv. Dann ist die Diskriminante positiv und es gibt immer zwei reelle Lösungen.
- Eine Diskriminante von 0 wird als „keine Lösung“ verstanden. Null bedeutet eine Lösung, eine doppelte Nullstelle. Bei x² − 8x + 16 = 0 gilt b² − 4ac = 64 − 64 = 0 und x = 4. Keine reelle Lösung gibt es bei negativer Diskriminante.
- Eine negative Diskriminante wird mit negativen Lösungen verwechselt. Das Vorzeichen der Diskriminante sagt nichts über die Vorzeichen der Lösungen. Bei x² + 4x + 3 = 0 ist b² − 4ac = 16 − 12 = 4 positiv. Beide Lösungen, −1 und −3, sind trotzdem negativ.
- Die Diskriminante ist b² − 4ac, der Ausdruck unter der Wurzel.
- Positiv: zwei reelle Lösungen (rational bei einer Quadratzahl). Null: eine doppelte Lösung. Negativ: keine reellen Lösungen.
- Sie zählt auch die Schnittpunkte mit der x-Achse: 2, 1 oder 0.
- Setze sie gleich 0, um den Wert für die Berührung der Achse zu finden.
Quellen zu diesem Kurs (6)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
- Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
- Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
- Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).
Abgerufen: 2026-10-18