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Quadratische Funktionen

Sechs Einheiten zu quadratischen Funktionen und Gleichungen: Parabel, Scheitelpunktform, Faktorisieren, Mitternachtsformel, Diskriminante und die Flugbahn eines geworfenen Balls. Im Funktionslabor wird y = ax² + bx + c gezeichnet, während du a, b und c veränderst. Scheitelpunkt, Symmetrieachse und Schnittpunkte mit der x-Achse sind markiert.

Fortschritt
  1. 1Die ParabelQuadriere die Zahlen von −3 bis 3: Du erhältst 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9. Als Punkte ergeben sie eine U-förmige Kurve, die Parabel.
  2. 2Scheitelpunktformf(x) = 2x² + 4x − 4 und f(x) = 2(x + 1)² − 6 sind dieselbe Funktion. Nur die zweite Form zeigt den Scheitelpunkt (−1, −6) auf einen Blick.
  3. 3Durch Faktorisieren lösenWenn (x − 2)(x + 3) = 0, gilt x − 2 = 0 oder x + 3 = 0. Die Lösungen sind also 2 und −3. Keine andere Zahl macht das Produkt null.
  4. 4MitternachtsformelAl-Chwarizmi löste um 800 die Gleichung x² + 10x = 39 durch quadratische Ergänzung. Die Mitternachtsformel fasst dieselben Schritte für beliebige a, b und c zusammen.
  5. 5DiskriminanteFür x² + 2x + 5 = 0 gilt b² − 4ac = 4 − 20 = −16. Schon diese negative Zahl verrät ohne Lösen: Die Parabel berührt die x-Achse nie.
  6. 6Ein geworfener BallEin Ball wird von einem 40 Fuß hohen Dach mit 80 Fuß pro Sekunde nach oben geworfen. Nach 2.5 Sekunden erreicht er 140 Fuß und landet nach etwa 5.46 Sekunden.
Quellen zu diesem Kurs (6)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-19] 다항식의 곱셈과 인수분해(해설의 곱셈 공식 m(a + b), (a + b)², (a − b)², (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (ax + b)(cx + d)), [9수02-20] 이차방정식, [9수02-21] 이차함수의 개념, [9수02-22] 이차함수의 그래프(최댓값·최솟값은 x의 범위가 실수 전체인 경우만), 용어 인수·인수분해·완전제곱식·이차방정식·중근·근의 공식·이차함수·포물선·축·꼭짓점·최댓값·최솟값·평행이동, 「이차방정식은 해가 실수인 경우만」, 「근과 계수와의 관계는 다루지 않는다」, 「구한 해가 문제 상황에 적합한지 확인」; 고등학교 공통수학1 [10공수1-02-02] 실근과 허근·판별식, [10공수1-02-03] 근과 계수의 관계, [10공수1-02-06] 이차함수의 최대·최소와 실생활(제한된 범위, 공학 도구))
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e , 5.1 Quadratic Functions (parabola, vertex, axis of symmetry x = −b/(2a), general form ax² + bx + c, standard form a(x − h)² + k also called vertex form, f(x) = 2x² + 4x − 4 = 2(x + 1)² − 6, f(x) = −3(x + 2)² + 4, vertex of 2x² − 6x + 7 by −b/(2a) (the completing-the-square example x² − 6x + 7 in the course is our own), satellite dish cross-sections, 80 ft fence: maximum area 800 sq ft at L = 20, newspaper revenue maximum at $31.80 and $2,528,100, ball H(t) = −16t² + 80t + 40: top at 2.5 s, 140 ft, ground after about 5.458 s, rock H(t) = −16t² + 96t + 112: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/5-1-quadratic-functions)
  • Textbook: OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, 2.5 Quadratic Equations (zero-product property, (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6, square root property, completing the square, quadratic formula, discriminant table: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/2-5-quadratic-equations)
  • Reference value: NIST CODATA standard acceleration of gravity 9.80665 m/s², about 32.174 ft/s² (physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn)
  • Reference value: NIST, "Putting the Best Foot Forward" (1 foot = 0.3048 m exactly since 1959; nist.gov/pml/us-surveyfoot, checked 2026-10-19)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, Quadratic, cubic and quartic equations (Babylonians about 1800 BC, algorithmic completing the square with positive answers; Euclid about 300 BC geometric; Brahmagupta (598-665) admits negative quantities; al-Khwarizmi (c 800) six types, x² + 10x = 39; Abraham bar Hiyya, Liber embadorum 1145: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Quadratic_etc_equations).

Abgerufen: 2026-10-18