edubun
Deutsch
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Start›Algebra

Funktionen

Sechs Einheiten zu Funktionen: Was macht eine Zuordnung zur Funktion? Was sind Definitionsbereich und Wertebereich? Dazu kommen das Ablesen von Graphen, Verschieben und Strecken, die Verkettung zweier Funktionen und das Umkehren einer Funktion. Jede Einheit enthält ein Funktionslabor, vom Senkrechten-Test bis zur Spiegelung an y = x.

Fortschritt

Bevor du anfängst

Die meisten Beispiele werden aus Graphen abgelesen und mit einfachen Gleichungen gelöst, daher kommen Geraden im Koordinatensystem und Lineare Gleichungen zuerst. Die Einheit zu Transformationen verschiebt die Parabel y = x², und die Einheit zur Umkehrfunktion nutzt die Celsius-Fahrenheit-Formel erneut; beides schon gesehen zu haben hilft.

Wenn du fertig bist

Danach kannst du den Vertikalentest anwenden, f(4) aus einer Vorschrift finden und feststellen, dass √(x + 2) eine Definitionsmenge hat, die bei −2 beginnt. Du liest Änderungsraten aus dem Graphen einer Regentonne ab, verschiebst y = x² auf den Scheitel (3, 1), zeigst, dass f(g(x)) und g(f(x)) verschieden sind, und findest eine Umkehrfunktion durch Auflösen nach x und Vertauschen, etwa beim Umrechnen von 26 °C in etwa 79 °F.

  1. 1Was ist eine Funktion?Ordnet man jeder Zahl von 1 bis 5 ihr Doppeltes zu, entstehen fünf Paare von (1, 2) bis (5, 10). Weil jeder Eingabewert genau einen Ausgabewert erhält, ist diese Zuordnung eine Funktion.
  2. 2Definitionsbereich und Wertebereichf(x) = √(x + 2) hat bei x = −3 keinen reellen Ausgabewert, denn −3 + 2 = −1 und eine negative Zahl hat keine reelle Quadratwurzel. Der Definitionsbereich beginnt bei −2.
  3. 3Einen Graphen lesenDer Graph einer Regentonne steigt in zwei Stunden von 20 auf 60 Liter. Im Durchschnitt kamen also 20 Liter pro Stunde hinzu.
  4. 4Transformationen von GraphenDer Graph von y = (x − 3)² + 1 entsteht aus y = x² durch Verschiebung um 3 nach rechts und 1 nach oben. Der Scheitelpunkt wandert von (0, 0) nach (3, 1).
  5. 5Verkettung von FunktionenFür f(x) = 2x + 1 und g(x) = 3 − x gilt f(g(x)) = 7 − 2x, aber g(f(x)) = 2 − 2x. Die Reihenfolge ändert das Ergebnis.
  6. 6UmkehrfunktionenC = (5/9)(F − 32) wandelt 75 °F in etwa 24 °C um. Die Umkehrfunktion F = (9/5)C + 32 wandelt 26 °C in etwa 79 °F um.
Quellen zu diesem Kurs (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

Abgerufen: 2026-10-18