Verkettung von Funktionen

Für f(x) = 2x + 1 und g(x) = 3 − x gilt f(g(x)) = 7 − 2x, aber g(f(x)) = 2 − 2x. Die Reihenfolge ändert das Ergebnis.

Rabatt und Gutschein: Was kommt zuerst?

Zwei Möglichkeiten, einen Artikel für $50 zu bezahlen. Der Laden gewährt 10% Rabatt, d(x) = 0.9x, und du hast außerdem einen Gutschein über $5, c(x) = x − 5. Erst Rabatt, dann Gutschein: c(d(50)) = 45 − 5 = 40 Dollar. Erst Gutschein, dann Rabatt: d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 Dollar. Ein Unterschied von fünfzig Cent. In beiden Fällen wurde der Ausgabewert einer Funktion direkt in die andere eingesetzt. Nur die Reihenfolge war anders, und dadurch änderte sich der Rechnungsbetrag.

Von Sit-ups zu Kalorien: Die innere Funktion wirkt zuerst

Manchmal ist der Ausgabewert einer Funktion der Eingabewert der nächsten. OpenStax beschreibt eine Person, die Sit-ups macht: s(t) ist die Anzahl der Sit-ups in t Minuten und c(s) die durch s Sit-ups verbrannte Kalorienmenge. Um von Minuten zu Kalorien zu kommen, bestimmst du zuerst die Sit-ups, dann die Kalorien: c(s(t)). Diese Verkettung schreibt man (c ∘ s)(t) = c(s(t)) und liest „c verkettet mit s“. Die zuletzt, also innen geschriebene Funktion wirkt zuerst.

f(g(x)) = 7 − 2x, aber g(f(x)) = 2 − 2x

Um f(g(1)) mit f(x) = 2x + 1 und g(x) = 3 − x zu berechnen, gehst du von innen nach außen vor. Zuerst g(1) = 3 − 1 = 2. Dann f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Für eine Formel setzt du das gesamte g(x) für x in f ein: f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Probe mit x = 1: 7 − 2 = 5, wie zuvor. Die andere Reihenfolge ergibt g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x und g(f(1)) = g(3) = 0. Die beiden Verkettungen sind verschiedene Funktionen. Die Verkettung ist also nicht kommutativ.

f(g(2)) ist nicht f(2) · g(2)

Verwechsle Verkettung nicht mit Multiplikation. f(g(x)) bedeutet „g(x) in f einsetzen“, während f(x)g(x) „die beiden Ausgabewerte multiplizieren“ bedeutet. Für f(x) = x² und g(x) = x + 1 gilt f(g(2)) = f(3) = 9, aber f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. Auch hier zählt die Reihenfolge: g(f(2)) = g(4) = 5. Manche Paare liefern in beiden Reihenfolgen dieselbe Funktion, etwa f(x) = 4x und g(x) = x/2 mit jeweils 2x. Das ist aber die Ausnahme.

Zuerst den inneren Wert nachschlagen und auch den Definitionsbereich von innen prüfen

Verkettung funktioniert auch mit Tabellen. Steht in einer Tabelle g(2) = 5 und in einer anderen f(5) = 1, dann ist f(g(2)) = f(5) = 1. Du musst nur zuerst den inneren Wert nachschlagen. Beim Definitionsbereich kommt etwas hinzu: x muss für g zulässig sein und g(x) für f. Für f(x) = 1/x und g(x) = x − 3 gilt f(g(x)) = 1/(x − 3). Bei x = 3 funktioniert das nicht, weil g(3) = 0 nicht in f eingesetzt werden darf. Umgekehrt kannst du eine komplizierte Funktion zerlegen: h(x) = (x − 3)² ist f(g(x)) mit g(x) = x − 3 innen und f(x) = x² außen.

Das Labor zeigt beide Reihenfolgen als zwei Maschinenketten. Wähle f und g aus den Listen und ändere den Eingabewert x. Die obere Kette schickt x erst durch g, dann durch f; die untere erst durch f, dann durch g. Die Anzeige schreibt beide Verkettungen als Formeln aus. So siehst du, ob die Reihenfolge bei deinem gewählten Paar eine Rolle spielt.