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합성함수

f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x이면 f(g(x)) = 7 − 2x이지만 g(f(x)) = 2 − 2x입니다. 순서가 바뀌면 답이 달라집니다.

할인과 쿠폰, 어느 것을 먼저 쓸까요

온라인 서점에서 50,000원짜리 책을 산다고 해 보겠습니다(지어낸 예입니다). 10% 할인은 d(x) = 0.9x, 5,000원 쿠폰은 c(x) = x − 5000으로 쓸 수 있습니다. 할인을 먼저 받고 쿠폰을 쓰면 c(d(50000)) = 45000 − 5000 = 40,000원입니다. 쿠폰을 먼저 쓰고 할인을 받으면 d(c(50000)) = 0.9 × 45000 = 40,500원입니다. 500원이 차이 납니다. 두 경우 모두 한 함수의 출력을 그대로 다른 함수에 넣었고, 넣는 순서만 달랐습니다. 달러로 해도 같습니다. 50달러짜리 물건에 10% 할인과 5달러 쿠폰을 쓰면 순서에 따라 40달러와 40.50달러가 됩니다.

윗몸일으키기 횟수에서 열량으로, 안쪽 함수가 먼저입니다

한 함수의 출력이 그대로 다음 함수의 입력이 되는 일이 많습니다. OpenStax 교재는 윗몸일으키기를 예로 듭니다. s(t)는 t분 동안 한 윗몸일으키기 횟수이고, c(s)는 윗몸일으키기 s번으로 쓰는 열량입니다. 운동한 시간으로 열량을 알고 싶으면 먼저 횟수를 구하고, 그 횟수로 열량을 구하면 됩니다. 식으로 쓰면 c(s(t))입니다. 이렇게 이어 붙인 함수를 합성함수라고 하고 (c ∘ s)(t) = c(s(t))로 씁니다. 기호에서 오른쪽에 쓴 안쪽 함수 s가 먼저 작용합니다. 고등학교 공통수학2 성취기준 [10공수2-03-02]가 「함수의 합성을 설명하고, 합성함수를 구할 수 있다」입니다.

f(g(1))에서 입력 1은 먼저 g를 지나 2가 되고, 그다음 f를 지나 5가 됩니다.

f(g(x))는 7 − 2x, g(f(x))는 2 − 2x

f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x일 때 f(g(1))은 안쪽부터 계산합니다. g(1) = 3 − 1 = 2이고, f(2) = 2 × 2 + 1 = 5입니다. 식을 얻으려면 f의 x 자리에 g(x)를 통째로 넣습니다. f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x입니다. x = 1을 넣으면 7 − 2 = 5로 앞의 값과 같습니다. 순서를 바꾸면 g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x이고, g(f(1)) = g(3) = 0입니다. 두 합성이 서로 다른 함수이니 합성에는 교환법칙이 성립하지 않습니다.

f(g(2))와 f(2) · g(2)는 다릅니다

합성을 곱셈과 섞지 마세요. f(g(x))는 g(x)를 f에 넣는다는 뜻이고, f(x)g(x)는 두 출력을 곱한다는 뜻입니다. f(x) = x², g(x) = x + 1이면 f(g(2)) = f(3) = 9이지만 f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12입니다. 순서도 다시 따져야 합니다. g(f(2)) = g(4) = 5이니까요. f(x) = 4x, g(x) = x/2처럼 어느 순서로 합성해도 2x가 나오는 짝도 있지만, 그런 짝은 드뭅니다.

표에서도 안쪽 값부터 찾고, 정의역도 안쪽부터 따집니다

합성은 표로도 할 수 있습니다. 한 표에 g(2) = 5, 다른 표에 f(5) = 1이 있으면 f(g(2)) = f(5) = 1입니다. 안쪽 값만 먼저 찾으면 됩니다. 정의역은 한 번 더 생각해야 합니다. x가 g에 들어갈 수 있어야 하고, 나온 g(x)도 f에 들어갈 수 있어야 합니다. f(x) = 1/x, g(x) = x − 3이면 f(g(x)) = 1/(x − 3)이고, x = 3에서는 g(3) = 0을 f에 넣을 수 없어 값이 없습니다. 거꾸로 복잡한 함수를 둘로 나눌 수도 있습니다. h(x) = (x − 3)²는 안쪽 g(x) = x − 3, 바깥쪽 f(x) = x²로 된 f(g(x))입니다.

아래 실험실은 두 순서를 기계 두 줄로 보여 줍니다. 목록에서 f와 g를 고르고 입력 x를 바꿔 보세요. 위 줄은 x를 g에 넣고 그 결과를 f에 보내고, 아래 줄은 f에 넣고 그 결과를 g에 보냅니다. 아래 칸에 두 합성의 식이 나오니, 고른 짝에서 순서가 결과를 바꾸는지 바로 확인할 수 있습니다.

불러오는 중

끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

입력 1에서 f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x이면 f(g(1)) = 5, g(f(1)) = 0입니다. 두 순서가 같아지는 짝을 보려면 f = 4x, g = x/2를 골라 보세요.
  1. f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x일 때 f(g(1))은 얼마일까요?
  2. 같은 함수로 g(f(1))은 얼마일까요?
  3. f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x일 때 f(g(x))는 어느 식일까요?
    • 7 − 2x
    • 2 − 2x
    • −2x² + 5x + 3
    • 4 + x
  4. f(x) = x², g(x) = x + 1일 때 f(g(2))는 얼마일까요?
  5. f(x) = x², g(x) = x + 1일 때 g(f(2))는 얼마일까요?
  6. f(x) = 4x, g(x) = x/2일 때 (f ∘ g)(6)은 얼마일까요?
  7. (f ∘ g)(x)에서 먼저 작용하는 함수는 무엇일까요?
    • g
    • f
    • 함께 작용함
    • x에 따라 다름
  8. h(x) = (x − 3)²를 f(g(x))로 나타낼 때 맞는 짝은 어느 것일까요?
    • g(x) = x − 3, f(x) = x²
    • g(x) = x², f(x) = x − 3
    • g(x) = x, f(x) = x − 9
    • g(x) = 3x, f(x) = x²
  9. 한 표에 g(2) = 5, 다른 표에 f(5) = 1이 있습니다. f(g(2))는 얼마일까요?
  10. f(x) = 1/x, g(x) = x − 3일 때 f(g(x))의 정의역에서 빠지는 x는 얼마일까요?
자주 하는 실수
  • f(x) = x + 4, g(x) = 3x일 때 f(g(2))를 f(2) = 6, g(6) = 18로 계산하기 그 계산은 g(f(2))입니다. f(g(2))는 안쪽부터 g(2) = 6, 그다음 f(6) = 10입니다.
  • 같은 짝에서 f(g(x)) = (x + 4)(3x)로 쓰기 (x + 4)(3x)는 곱 f(x)g(x)입니다. 합성은 f의 x 자리에 3x를 넣으므로 f(g(x)) = 3x + 4입니다.
  • f(x) = x² + x, g(x) = x + 1일 때 f(g(x)) = (x + 1)² + x로 쓰기 f 안의 x를 하나만이 아니라 모두 바꿔야 합니다. (x + 1)² + (x + 1) = x² + 3x + 2입니다.
선생님 메모합성함수에서는 쓰는 순서와 계산하는 순서가 엇갈립니다. f(g(x))에서 f를 먼저 쓰지만 먼저 작용하는 쪽은 g입니다. 처음 몇 문제는 안쪽 괄호를 짚으며 「g 먼저, 그다음 f」라고 말하게 하고, 기계 두 개를 그려 보게 하세요. 식을 세우기 전에 수부터 넣어 보게 하면, 식을 잘못 세웠을 때 이미 구한 값과 어긋나서 스스로 찾아냅니다. 고등학교 공통수학2 교육과정 문서는 기호를 g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)) 꼴로 적습니다. 이 과정의 f ∘ g와 문자만 바뀌었을 뿐, 오른쪽에 쓴 함수가 먼저 작용한다는 규칙은 같습니다.
핵심 정리
  • (f ∘ g)(x) = f(g(x))는 g를 먼저, 그다음 f를 적용합니다.
  • 안에서 바깥으로 계산하고, 식을 얻으려면 x 자리에 g(x) 전체를 넣습니다.
  • 합성은 교환법칙이 성립하지 않습니다. f(g(x))와 g(f(x))는 대개 다릅니다.
  • 정의역은 x가 g에, g(x)가 f에 들어갈 수 있어야 합니다.
이 과정의 출처 (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

확인한 날: 2026-10-18