Composición de funciones

Con f(x) = 2x + 1 y g(x) = 3 − x, f(g(x)) = 7 − 2x, pero g(f(x)) = 2 − 2x. El orden cambia la respuesta.

Un descuento y un cupón: ¿cuál va primero?

Dos formas de pagar un artículo de $50. La tienda descuenta un 10%, d(x) = 0.9x, y además tienes un cupón de $5, c(x) = x − 5. Primero el descuento y luego el cupón: c(d(50)) = 45 − 5 = 40 dólares. Primero el cupón y luego el descuento: d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 dólares. Hay cincuenta centavos de diferencia. En ambos casos, la salida de una función entró directamente en la otra. Solo cambió el orden, y ese orden cambió la cuenta.

De abdominales a calorías: la función interior actúa primero

A veces la salida de una función es la entrada de la siguiente. OpenStax describe a una persona haciendo abdominales: s(t) es la cantidad de abdominales que hace en t minutos, y c(s) es la cantidad de calorías que quema al hacer s abdominales. Para pasar de minutos a calorías, primero calculas los abdominales y después las calorías: c(s(t)). Este encadenamiento se llama composición, se escribe (c ∘ s)(t) = c(s(t)) y se lee «c compuesta con s». La función escrita al final, por dentro, actúa primero.

f(g(x)) = 7 − 2x, pero g(f(x)) = 2 − 2x

Para calcular f(g(1)) con f(x) = 2x + 1 y g(x) = 3 − x, trabaja de adentro hacia afuera. Primero g(1) = 3 − 1 = 2. Después f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Para obtener una fórmula, sustituye x en f por toda la expresión g(x): f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Comprueba con x = 1: 7 − 2 = 5, igual que antes. En el otro orden se obtiene g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x, y g(f(1)) = g(3) = 0. Las dos composiciones son funciones distintas, así que la composición no es conmutativa.

f(g(2)) no es f(2) · g(2)

No confundas composición con multiplicación. f(g(x)) significa «introducir g(x) en f», mientras que f(x)g(x) significa «multiplicar las dos salidas». Con f(x) = x² y g(x) = x + 1, f(g(2)) = f(3) = 9, pero f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. El orden vuelve a importar: g(f(2)) = g(4) = 5. Algunos pares sí dan la misma función en ambos órdenes, como f(x) = 4x y g(x) = x/2, donde ambos dan 2x, pero eso es la excepción.

Busca primero el valor interior y comprueba también el dominio de adentro hacia afuera

La composición también funciona con tablas. Si una tabla dice g(2) = 5 y otra dice f(5) = 1, entonces f(g(2)) = f(5) = 1; basta con buscar primero el valor interior. Los dominios requieren pensar un paso más: x debe estar permitido en g, y g(x) debe estar permitido en f. Con f(x) = 1/x y g(x) = x − 3, f(g(x)) = 1/(x − 3), que falla en x = 3 porque g(3) = 0 no puede entrar en f. En sentido contrario, puedes descomponer una función complicada: h(x) = (x − 3)² es f(g(x)) con g(x) = x − 3 por dentro y f(x) = x² por fuera.

El laboratorio muestra ambos órdenes como dos cadenas de máquinas. Elige f y g de las listas y cambia la entrada x. La cadena superior pasa x por g y después por f; la inferior, por f y después por g. El panel escribe ambas composiciones como fórmulas para que veas si el orden importa en el par elegido.