Composizione di funzioni
Con f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 − x, f(g(x)) = 7 − 2x ma g(f(x)) = 2 − 2x. L'ordine cambia il risultato.
Sconto e buono: quale si applica prima?
Due modi di pagare un articolo da $50. Il negozio applica il 10% di sconto, d(x) = 0.9x, e hai anche un buono da $5, c(x) = x − 5. Prima lo sconto, poi il buono: c(d(50)) = 45 − 5 = 40 dollari. Prima il buono, poi lo sconto: d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 dollari. Cinquanta centesimi di differenza. In entrambi i casi l'uscita di una funzione è entrata nell'altra. È cambiato solo l'ordine, ma è cambiato anche il conto.
Dagli addominali alle calorie: agisce prima la funzione interna
A volte l'uscita di una funzione è l'ingresso della successiva. OpenStax descrive una persona che fa addominali: s(t) è il numero di addominali eseguiti in t minuti e c(s) le calorie consumate con s addominali. Per passare dai minuti alle calorie trovi prima gli addominali, poi le calorie: c(s(t)). Questo concatenamento si chiama composizione, si scrive (c ∘ s)(t) = c(s(t)) e si legge «c composta con s». La funzione scritta per ultima, all'interno, agisce per prima.
f(g(x)) = 7 − 2x, ma g(f(x)) = 2 − 2x
Per calcolare f(g(1)) con f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 − x, procedi dall'interno. Prima g(1) = 3 − 1 = 2. Poi f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Per ricavare una formula, sostituisci l'intera g(x) al posto di x in f: f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Verifica con x = 1: 7 − 2 = 5, come prima. Nell'altro ordine, g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x e g(f(1)) = g(3) = 0. Sono funzioni diverse: la composizione non è commutativa.
f(g(2)) non è f(2) · g(2)
Non confondere composizione e moltiplicazione. f(g(x)) significa «inserisci g(x) in f», mentre f(x)g(x) significa «moltiplica le due uscite». Con f(x) = x² e g(x) = x + 1, f(g(2)) = f(3) = 9, ma f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. Anche qui l'ordine conta: g(f(2)) = g(4) = 5. Alcune coppie producono la stessa funzione nei due ordini, come f(x) = 4x e g(x) = x/2, che danno entrambe 2x, ma è un'eccezione.
Cerca prima il valore interno e controlla il dominio dall'interno
La composizione funziona anche con le tabelle. Se una tabella dà g(2) = 5 e un'altra f(5) = 1, allora f(g(2)) = f(5) = 1: basta cercare prima il valore interno. Per i domini serve un controllo in più: x deve appartenere al dominio di g e g(x) a quello di f. Con f(x) = 1/x e g(x) = x − 3, f(g(x)) = 1/(x − 3) non è definita per x = 3, perché g(3) = 0 non può entrare in f. Al contrario, puoi scomporre una funzione complicata: h(x) = (x − 3)² è f(g(x)), con g(x) = x − 3 all'interno e f(x) = x² all'esterno.
Il laboratorio mostra i due ordini come catene di macchine. Scegli f e g dagli elenchi e cambia l'ingresso x. La catena in alto passa prima per g, poi per f; quella in basso prima per f, poi per g. Il pannello scrive entrambe le formule, così puoi vedere se l'ordine conta per la coppia scelta.
Trascina per ruotare. Scorri oppure avvicina e allontana due dita per regolare lo zoom.
- Con f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 − x, quanto vale f(g(1))?
- Con le stesse funzioni, quanto vale g(f(1))?
- Quale formula esprime f(g(x)) per f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x?
- 7 − 2x
- 2 − 2x
- −2x² + 5x + 3
- 4 + x
- Con f(x) = x² e g(x) = x + 1, quanto vale f(g(2))?
- Con f(x) = x² e g(x) = x + 1, quanto vale g(f(2))?
- Con f(x) = 4x e g(x) = x/2, quanto vale (f ∘ g)(6)?
- In (f ∘ g)(x), quale funzione agisce per prima?
- g
- f
- Agiscono insieme
- Dipende da x
- h(x) = (x − 3)² è f(g(x)). Quale coppia funziona?
- g(x) = x − 3, f(x) = x²
- g(x) = x², f(x) = x − 3
- g(x) = x, f(x) = x − 9
- g(x) = 3x, f(x) = x²
- Una tabella dà g(2) = 5 e un'altra f(5) = 1. Quanto vale f(g(2))?
- Con f(x) = 1/x e g(x) = x − 3, quale x è esclusa dal dominio di f(g(x))?
- Con f(x) = x + 4 e g(x) = 3x, calcolare f(g(2)) trovando f(2) = 6 e poi g(6) = 18. Quella è g(f(2)). f(g(2)) parte dall'interno: g(2) = 6, poi f(6) = 10.
- Scrivere f(g(x)) = (x + 4)(3x) per la stessa coppia. Quello è il prodotto f(x)g(x). La composizione mette 3x al posto di x in f: f(g(x)) = 3x + 4.
- Con f(x) = x² + x e g(x) = x + 1, scrivere f(g(x)) = (x + 1)² + x. Si sostituiscono entrambe le x di f: (x + 1)² + (x + 1) = x² + 3x + 2.
- (f ∘ g)(x) = f(g(x)): applica prima g, poi f.
- Calcola dall'interno verso l'esterno; sostituisci tutta g(x) al posto di x per ottenere la formula.
- La composizione non è commutativa: f(g(x)) e g(f(x)) sono di solito diverse.
- Il dominio richiede che x sia ammessa in g e g(x) sia ammessa in f.
Fonti di questo corso (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Consultato il: 2026-10-18