Trasformazioni dei grafici
Il grafico di y = (x − 3)² + 1 è quello di y = x² traslato di 3 a destra e di 1 in alto. Il vertice passa da (0, 0) a (3, 1).
Prima prova a indovinare: x − 3 sposta la curva a sinistra o a destra?
Comincia dal laboratorio, prima delle regole. Si apre su g(x) = (x − 3)² + 1, sovrapposta alla funzione di base tratteggiata y = x². Prima di osservare meglio, prova a indovinare: x − 3 spinge la curva a sinistra o a destra? Cerca il punto rosso: è in (3, 1). A destra, dunque. Imposta k a −2 e tutta la curva scende. Imposta a a −2: si ribalta e si restringe. Ricorda la prima sorpresa, un segno meno che sposta il grafico a destra: il resto dell'unità ne spiega il motivo.
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Quattro grafici di base da riconoscere
Vale la pena riconoscere alcuni grafici dalla forma: y = x², la parabola; y = |x|, una V con il vertice nell'origine; y = √x, metà di una parabola laterale che parte dall'origine; y = x³, che sale passando per l'origine, dove si appiattisce per un istante. OpenStax le chiama funzioni fondamentali. Molti grafici che incontrerai sono uno di questi traslato, riflesso o dilatato; quattro regole descrivono tutte queste trasformazioni. Conoscendo la funzione di base e le regole puoi abbozzare il nuovo grafico senza una tabella.
Aggiungi 20 all'esterno e il grafico delle aperture sul tetto sale di 20
Aggiungere una costante fuori dalla funzione sposta il grafico in alto o in basso. Se g(x) = f(x) + k, ogni uscita aumenta di k: il grafico sale di k unità per k > 0 e scende per k < 0. OpenStax usa un edificio ecologico con aperture sul tetto che si aprono e chiudono durante il giorno: V(t) è l'area aperta, in piedi quadrati, t ore dopo mezzanotte. Se il responsabile tiene aperti altri 20 piedi quadrati giorno e notte, la nuova funzione è S(t) = V(t) + 20, lo stesso grafico sollevato di 20. Cambiano solo le uscite, non gli ingressi.
Perché x − 3 sposta a destra, non a sinistra
Modificare l'ingresso sposta il grafico lateralmente, in una direzione che spesso sorprende. Il grafico di g(x) = f(x − h) è quello di f traslato di h unità a destra. Per capirlo, chiediti dove g assume l'uscita che f aveva in 0: g(x) = f(0) quando x − h = 0, cioè per x = h. Tutto accade h unità dopo. Quindi (x − 3)² si sposta di 3 a destra e |x + 2| = |x − (−2)| di 2 a sinistra. Il meno dentro parentesi indica destra, il più indica sinistra.
Un meno esterno scambia alto e basso; interno, destra e sinistra
Un meno davanti, g(x) = −f(x), cambia segno a ogni uscita: il grafico si riflette rispetto all'asse x. Così −√x sta sotto l'asse anziché sopra. Un meno sull'ingresso, g(x) = f(−x), riflette il grafico rispetto all'asse y: √(−x) parte dall'origine e va a sinistra. Moltiplicare le uscite per un numero positivo a dilata il grafico verticalmente se a > 1 e lo comprime se 0 < a < 1: 2|x| è una V più ripida e (1/2)x² una parabola più larga.
Segui un punto e il resto del grafico lo accompagna
Per g(x) = a f(x − h) + k, un metodo affidabile è seguire alcuni punti del grafico di base. Il punto (x, y) su f diventa (x + h, a·y + k) su g. Il punto (4, 2) è su y = √x, quindi su y = √(x − 1) + 3 diventa (5, 5). Il vertice (0, 0) di |x| diventa (3, 1) su y = 2|x − 3| + 1. Torna al laboratorio in alto, scegli una funzione di base, varia a, h e k e osserva il punto rosso. Il pannello elenca le trasformazioni in ordine e mostra dove finiscono altri due punti.
- Come cambia il grafico di g(x) = x² + 3 rispetto a y = x²?
- In alto di 3
- In basso di 3
- A destra di 3
- A sinistra di 3
- Come cambia g(x) = (x − 4)² rispetto a y = x²?
- A destra di 4
- A sinistra di 4
- In alto di 4
- In basso di 4
- Come cambia g(x) = |x + 2| rispetto a y = |x|?
- A sinistra di 2
- A destra di 2
- In alto di 2
- In basso di 2
- Com'è il grafico di g(x) = −√x rispetto a y = √x?
- Riflesso rispetto all'asse x
- Riflesso rispetto all'asse y
- Abbassato di 1
- Dilatato di fattore 2
- Qual è il vertice di g(x) = (x + 1)² − 5?
- (−1, −5)
- (1, −5)
- (−1, 5)
- (1, 5)
- Dove si trova il vertice di y = 2|x − 3| + 1?
- (3, 1)
- (−3, 1)
- (3, 2)
- (1, 3)
- Come cambia y = (1/2)x² rispetto a y = x²?
- Compressa verticalmente (più larga)
- Dilatata verticalmente (più stretta)
- Abbassata di 1/2
- Riflessa
- (4, 2) è su y = √x. Quale punto è su y = √(x − 1) + 3?
- (5, 5)
- (3, 5)
- (5, −1)
- (4, 5)
- Quale trasformazione produce g(x) = f(−x)?
- Riflessione rispetto all'asse y
- Riflessione rispetto all'asse x
- Traslazione di 1 a sinistra
- Nessuna trasformazione
- g(x) è y = x³ abbassata di 2. Quanto vale g(2)?
- Leggere y = (x + 2)² come «sposta di 2 a destra». x + 2 = x − (−2), quindi h = −2 e il grafico si sposta di 2 a sinistra. Il vertice è (−2, 0). Verifica: (−2 + 2)² = 0.
- Trattare f(x + 2) e f(x) + 2 come lo stesso grafico. Per f(x) = x², f(x + 2) = (x + 2)² si sposta di 2 a sinistra, mentre f(x) + 2 = x² + 2 si sposta di 2 in alto. Per x = 1 danno 9 e 3.
- Trasformare (2, 4) su y = x² in (5, 3) su y = (x + 3)² − 1. Qui h = −3, quindi x va a sinistra: (2 − 3, 4 − 1) = (−1, 3). Verifica: (−1 + 3)² − 1 = 3.
- f(x) + k: in alto di k (in basso se k < 0).
- f(x − h): a destra di h; f(x + h): a sinistra di h.
- −f(x): riflessione rispetto all'asse x; f(−x): rispetto all'asse y.
- a·f(x): dilatazione se a > 1, compressione se 0 < a < 1. Il punto (x, y) diventa (x + h, a·y + k).
Fonti di questo corso (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Consultato il: 2026-10-18