Transformasi grafik

Grafik y = (x − 3)² + 1 adalah grafik y = x² yang digeser 3 ke kanan dan 1 ke atas. Titik puncaknya berpindah dari (0, 0) ke (3, 1).

Tebak dahulu: apakah x − 3 menggeser kurva ke kiri atau ke kanan?

Mulailah di laboratorium sebelum membaca aturannya. Tampilan awal menunjukkan g(x) = (x − 3)² + 1 di atas grafik induk y = x² yang putus-putus. Sebelum mengamati lebih dekat, tebak: apakah x − 3 mendorong kurva ke kiri atau ke kanan? Sekarang cari titik acuan merah. Letaknya (3, 1). Jadi ke kanan. Atur k ke −2 dan seluruh kurva turun. Atur a ke −2 dan kurva tercermin serta menyempit. Ingat kejutan pertama itu, tanda minus yang menggeser grafik ke kanan, karena bagian selanjutnya menjelaskan alasannya.

Empat grafik induk yang perlu dikenali bentuknya

Beberapa grafik induk patut dikenali bentuknya: y = x², parabola; y = |x|, bentuk V dengan sudut di titik asal; y = √x, setengah parabola menyamping yang berawal di titik asal; dan y = x³, yang naik melewati titik asal dengan sesaat mendatar di sana. OpenStax menyebutnya fungsi toolkit. Kebanyakan grafik yang akan kamu temui adalah salah satunya yang digeser, dicerminkan, atau diregangkan, dan empat aturan menjelaskan semua perubahan itu. Jika mengenali fungsi induk dan aturannya, kamu bisa menggambar sketsa baru dalam beberapa detik tanpa tabel.

Tambah 20 di luar fungsi dan grafik ventilasi atap naik 20

Menambahkan konstanta di luar fungsi menggeser grafik ke atas atau ke bawah. Jika g(x) = f(x) + k, setiap keluaran bertambah k, sehingga grafik naik k satuan saat k > 0 dan turun saat k < 0. OpenStax memberi contoh bangunan ramah lingkungan dengan ventilasi atap yang membuka dan menutup sepanjang hari: jika V(t) adalah luas ventilasi terbuka dalam kaki persegi pada t jam setelah tengah malam, lalu pengelola menambah bukaan 20 kaki persegi sepanjang siang dan malam, fungsi barunya S(t) = V(t) + 20, grafik yang sama diangkat 20. Hanya keluaran yang berubah; masukan tetap.

Mengapa x − 3 menggeser grafik ke kanan, bukan ke kiri

Mengubah masukan menggeser grafik ke samping, dan arahnya sering mengejutkan. Grafik g(x) = f(x − h) adalah grafik f yang digeser h satuan ke kanan. Untuk memahami alasannya, tanyakan di mana g menghasilkan keluaran f pada 0: g(x) = f(0) saat x − h = 0, yaitu x = h. Semuanya terjadi h satuan lebih lambat. Jadi (x − 3)² bergeser ke kanan 3, dan |x + 2| = |x − (−2)| bergeser ke kiri 2. Tanda minus di dalam kurung berarti ke kanan, tanda plus berarti ke kiri.

Minus di luar membalik atas-bawah; di dalam, kiri-kanan

Tanda minus di depan, g(x) = −f(x), membalik tanda setiap keluaran, sehingga grafik dicerminkan terhadap sumbu x: −√x menggantung di bawah sumbu, bukan naik di atasnya. Minus pada masukan, g(x) = f(−x), mencerminkan grafik terhadap sumbu y: √(−x) berawal di titik asal dan bergerak ke kiri. Mengalikan keluaran dengan bilangan positif a meregangkan grafik secara vertikal saat a > 1 dan memampatkannya saat 0 < a < 1, sehingga 2|x| menjadi V yang lebih curam dan (1/2)x² menjadi parabola lebih lebar.

Ikuti satu titik, bagian grafik lainnya ikut berpindah

Untuk g(x) = a f(x − h) + k, cara menggambar yang andal adalah mengikuti beberapa titik grafik induk. Titik (x, y) pada f berpindah ke (x + h, a·y + k) pada g. Titik (4, 2) terletak pada y = √x, sehingga pada y = √(x − 1) + 3 titik itu menjadi (5, 5). Sudut (0, 0) dari |x| menjadi (3, 1) pada y = 2|x − 3| + 1. Kembali ke laboratorium di atas, pilih fungsi induk, ubah a, h, dan k, lalu amati titik acuan merah; panel mencantumkan urutan perubahan dan posisi baru dua titik lainnya.