Transformaties van grafieken
De grafiek van y = (x − 3)² + 1 is die van y = x², maar 3 naar rechts en 1 omhoog verplaatst. De top gaat van (0, 0) naar (3, 1).
Raad eerst: verschuift x − 3 links of rechts?
Begin vóór de regels in het practicum. Het opent met g(x) = (x − 3)² + 1, getekend over de gestippelde basisgrafiek y = x². Voorspel voordat je goed kijkt: duwt x − 3 de kromme naar links of rechts? Zoek nu het rode kenmerkende punt. Dat staat op (3, 1). Naar rechts dus. Zet k op −2 en de hele kromme zakt. Zet a op −2 en zij wordt gespiegeld en smaller. Onthoud die eerste verrassing, een minteken dat de grafiek naar rechts verplaatst. De rest van het hoofdstuk legt uit waarom.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Vier basisgrafieken om te herkennen
Enkele basisgrafieken zijn nuttig om aan hun vorm te herkennen: y = x², de parabool; y = |x|, een V met hoekpunt in de oorsprong; y = √x, de helft van een liggende parabool vanaf de oorsprong; en y = x³, die door de oorsprong stijgt en daar even vlak wordt. OpenStax noemt ze basisfuncties. De meeste grafieken die je tegenkomt zijn zo'n grafiek, maar verplaatst, gespiegeld of uitgerekt. Vier regels beschrijven al die veranderingen. Ken je de basisgrafiek en de regels, dan schets je de nieuwe grafiek in enkele seconden zonder tabel.
20 buiten de functie erbij tilt de dakventilatiegrafiek 20 op
Een constante buiten de functie optellen verplaatst de grafiek omhoog of omlaag. Bij g(x) = f(x) + k neemt elke uitvoer met k toe. De grafiek schuift dus k eenheden omhoog bij k > 0 en omlaag bij k < 0. OpenStax geeft als voorbeeld een duurzaam gebouw waarvan de dakventilatie overdag opent en sluit. V(t) is de geopende oppervlakte in vierkante voet, t uur na middernacht. Laat de beheerder dag en nacht 20 vierkante voet extra openstaan, dan wordt de nieuwe functie S(t) = V(t) + 20: dezelfde grafiek, 20 omhoog. Alleen de uitvoer verandert; de invoer blijft gelijk.
Waarom x − 3 naar rechts schuift
Een verandering van de invoer verplaatst de grafiek zijwaarts. Hier verrast de richting veel mensen. De grafiek van g(x) = f(x − h) is die van f, h eenheden naar rechts verschoven. Vraag om dit te begrijpen waar g de uitvoer krijgt die f bij 0 had. g(x) = f(0) als x − h = 0, dus bij x = h. Alles gebeurt h eenheden later. Daarom schuift (x − 3)² met 3 naar rechts en |x + 2| = |x − (−2)| met 2 naar links. Een minteken binnen de haakjes betekent rechts en een plusteken links.
Min buiten spiegelt boven-onder, binnen links-rechts
Een minteken ervoor, g(x) = −f(x), keert elke uitvoer om. De grafiek wordt dus in de x-as gespiegeld: −√x hangt onder de as in plaats van erboven te stijgen. Een minteken bij de invoer, g(x) = f(−x), spiegelt in de y-as: √(−x) begint in de oorsprong en loopt naar links. Vermenigvuldigen van alle uitvoerwaarden met een positief getal a rekt de grafiek verticaal uit bij a > 1 en drukt haar in bij 0 < a < 1. Daardoor is 2|x| een steilere V en (1/2)x² een bredere parabool.
Volg één punt en de rest gaat mee
Voor g(x) = a f(x − h) + k kun je betrouwbaar schetsen door enkele punten van de basisgrafiek te volgen. Een punt (x, y) op f wordt (x + h, a·y + k) op g. Het punt (4, 2) ligt op y = √x en wordt op y = √(x − 1) + 3 het punt (5, 5). Het hoekpunt (0, 0) van |x| wordt op y = 2|x − 3| + 1 het punt (3, 1). Ga terug naar het practicum bovenaan, kies een basisgrafiek en verander a, h en k. Bekijk het rode kenmerkende punt. Het paneel vermeldt de bewerkingen op volgorde en toont waar twee andere punten terechtkomen.
- Hoe verschilt g(x) = x² + 3 van y = x²?
- 3 omhoog
- 3 omlaag
- 3 rechts
- 3 links
- Hoe verschilt g(x) = (x − 4)² van y = x²?
- 4 rechts
- 4 links
- 4 omhoog
- 4 omlaag
- Hoe verschilt g(x) = |x + 2| van y = |x|?
- 2 links
- 2 rechts
- 2 omhoog
- 2 omlaag
- Hoe ziet g(x) = −√x eruit tegenover y = √x?
- Gespiegeld in de x-as
- Gespiegeld in de y-as
- 1 omlaag verschoven
- Met factor 2 gerekt
- Wat is de top van g(x) = (x + 1)² − 5?
- (−1, −5)
- (1, −5)
- (−1, 5)
- (1, 5)
- Waar ligt de hoek van y = 2|x − 3| + 1?
- (3, 1)
- (−3, 1)
- (3, 2)
- (1, 3)
- Hoe verschilt y = (1/2)x² van y = x²?
- Verticaal samengedrukt (breder)
- Verticaal gerekt (smaller)
- 1/2 omlaag verschoven
- Gespiegeld
- (4, 2) ligt op y = √x. Welk punt ligt op y = √(x − 1) + 3?
- (5, 5)
- (3, 5)
- (5, −1)
- (4, 5)
- Wat doet g(x) = f(−x)?
- Spiegelen in de y-as
- Spiegelen in de x-as
- 1 links verschuiven
- Geen verandering
- g(x) is y = x³ met 2 omlaag. Wat is g(2)?
- y = (x + 2)² lezen als ‘2 naar rechts’. x + 2 = x − (−2), dus h = −2 en 2 links. Top (−2, 0). Controle: (−2 + 2)² = 0.
- f(x + 2) en f(x) + 2 als dezelfde grafiek behandelen. Bij f(x) = x² schuift f(x + 2) = (x + 2)² naar links met 2; f(x) + 2 = x² + 2 gaat 2 omhoog. Bij x = 1 geven ze 9 en 3.
- (2, 4) op y = x² sturen naar (5, 3) op y = (x + 3)² − 1. Hier h = −3, dus links: (2 − 3, 4 − 1) = (−1, 3). Controle: (−1 + 3)² − 1 = 3.
- f(x) + k: k omhoog (omlaag bij k < 0).
- f(x − h): h rechts; f(x + h): h links.
- −f(x): spiegel in de x-as; f(−x): in de y-as.
- a·f(x): rekken bij a > 1, samendrukken bij 0 < a < 1. (x, y) wordt (x + h, a·y + k).
Bronnen van deze cursus (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Geraadpleegd: 2026-10-18