Transformationen von Graphen

Der Graph von y = (x − 3)² + 1 entsteht aus y = x² durch Verschiebung um 3 nach rechts und 1 nach oben. Der Scheitelpunkt wandert von (0, 0) nach (3, 1).

Schätze zuerst: Verschiebt x − 3 die Kurve nach links oder rechts?

Beginne im Labor, noch vor den Regeln. Dort ist g(x) = (x − 3)² + 1 über der gestrichelten Grundfunktion y = x² eingezeichnet. Schätze, bevor du genauer hinsiehst: Verschiebt x − 3 die Kurve nach links oder rechts? Suche nun den roten markanten Punkt. Er liegt bei (3, 1). Also nach rechts. Setze k auf −2, und die ganze Kurve sinkt. Setze a auf −2, und sie wird gespiegelt und schmaler. Merke dir die erste Überraschung: Ein Minuszeichen verschiebt den Graphen nach rechts. Der Rest der Einheit erklärt, warum.

Vier Grundgraphen an ihrer Form erkennen

Einige Grundgraphen solltest du an ihrer Form erkennen: y = x², die Parabel; y = |x|, ein V mit der Spitze im Ursprung; y = √x, die Hälfte einer seitlich liegenden Parabel, die im Ursprung beginnt; und y = x³, die durch den Ursprung steigt und dort kurz waagerecht verläuft. OpenStax nennt sie Werkzeugkastenfunktionen. Die meisten Graphen, denen du begegnest, entstehen aus ihnen durch Verschieben, Spiegeln oder Strecken. Vier Regeln beschreiben diese Änderungen. Kennst du die Grundfunktion und die Regeln, kannst du den neuen Graphen in wenigen Sekunden ohne Wertetabelle skizzieren.

Außen 20 addieren hebt den Graphen der Dachöffnungen um 20 an

Eine außerhalb der Funktion addierte Konstante verschiebt den Graphen nach oben oder unten. Bei g(x) = f(x) + k wächst jeder Ausgabewert um k. Für k > 0 wandert der Graph um k Einheiten nach oben, für k < 0 nach unten. OpenStax beschreibt ein umweltfreundliches Gebäude, dessen Dachlüftungen sich tagsüber öffnen und schließen: V(t) ist die offene Lüftungsfläche in Quadratfuß, t Stunden nach Mitternacht. Lässt die Gebäudeverwaltung tags und nachts 20 Quadratfuß zusätzlich offen, gilt S(t) = V(t) + 20. Derselbe Graph liegt nun um 20 höher. Nur die Ausgabewerte ändern sich, die Eingabewerte bleiben gleich.

Warum x − 3 den Graphen nach rechts statt nach links verschiebt

Eine Änderung am Eingabewert verschiebt den Graphen seitwärts. Die Richtung überrascht dabei oft. Der Graph von g(x) = f(x − h) ist der um h Einheiten nach rechts verschobene Graph von f. Frage zur Erklärung, wo g den Ausgabewert annimmt, den f bei 0 hatte: g(x) = f(0) gilt, wenn x − h = 0, also bei x = h. Alles passiert h Einheiten später. Daher ist (x − 3)² um 3 nach rechts verschoben und |x + 2| = |x − (−2)| um 2 nach links. Ein Minuszeichen in der Klammer bedeutet rechts, ein Pluszeichen links.

Ein Minus außen vertauscht oben und unten, innen links und rechts

Ein vorangestelltes Minuszeichen, g(x) = −f(x), kehrt das Vorzeichen jedes Ausgabewerts um. Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt: −√x verläuft unterhalb statt oberhalb der Achse. Ein Minus beim Eingabewert, g(x) = f(−x), spiegelt an der y-Achse: √(−x) beginnt im Ursprung und verläuft nach links. Multipliziert man die Ausgabewerte mit einer positiven Zahl a, wird der Graph für a > 1 in y-Richtung gestreckt und für 0 < a < 1 gestaucht. Daher ist 2|x| ein steileres V und (1/2)x² eine breitere Parabel.

Verfolge einen Punkt, der übrige Graph folgt mit

Für g(x) = a f(x − h) + k lässt sich der Graph zuverlässig skizzieren, indem du einige Punkte der Grundfunktion verfolgst. Ein Punkt (x, y) auf f wird zu (x + h, a·y + k) auf g. Der Punkt (4, 2) liegt auf y = √x; bei y = √(x − 1) + 3 wird daraus (5, 5). Die Spitze (0, 0) von |x| wird bei y = 2|x − 3| + 1 zu (3, 1). Kehre zum Labor oben zurück, wähle eine Grundfunktion, verändere a, h und k und beobachte den roten markanten Punkt. Die Anzeige nennt die Verschiebungen der Reihe nach und zeigt, wo zwei weitere Punkte landen.