Einen Graphen lesen
Der Graph einer Regentonne steigt in zwei Stunden von 20 auf 60 Liter. Im Durchschnitt kamen also 20 Liter pro Stunde hinzu.
Wann enthielt die Tonne 40 Liter?
Versuche vor dem Weiterlesen diese Aufgabe. Eine für diese Einheit erfundene Regentonne füllt sich, wird zum Gießen geleert und füllt sich erneut. Der Graph unten zeigt Liter in Abhängigkeit von Stunden. Wann enthielt sie genau 40 Liter? Eine Antwort fällt sofort auf. Es gibt eine zweite. Finde beide und prüfe sie anschließend im Abschnitt zur Geraden bei 40.
Die Regentonne, Stunde für Stunde
Viele Funktionen begegnen uns als Graphen statt als Formeln: die Temperatur im Tagesverlauf, der Kraftstoffpreis über ein Jahr, der Wasserstand eines Tanks. Nehmen wir ein erfundenes Beispiel. Eine Regentonne enthält mittags, zur Stunde 0, 20 Liter. Regen füllt sie bis Stunde 2 auf 60 Liter. Dann hört es auf zu regnen, und der Stand bleibt bis Stunde 4 bei 60. Jemand gießt den Garten; bis Stunde 7 wird die Tonne leer. Ein zweiter Schauer füllt sie bis Stunde 9 wieder auf 30 Liter, die bis Stunde 10 bleiben. Der Graph der Funktion W(t), Liter über Stunden, besteht aus geraden Teilstücken.
Die Gerade bei 40 trifft den Graphen zweimal
Für W(1) gehst du auf der waagerechten Achse zur 1, hinauf zum Graphen und dann zur senkrechten Achse: 40 Liter. In der Mitte zwischen Stunde 0 und Stunde 2 liegt der Stand in der Mitte zwischen 20 und 60. Für die umgekehrte Frage, wann es 40 Liter waren, zeichnest du die waagerechte Gerade bei 40 und suchst ihre Schnittpunkte mit dem Graphen. Es sind zwei: bei t = 1 während des Füllens und bei t = 5 während des Leerens. W(t) = 40 hat also zwei Lösungen. Die Gerade bei 70 trifft nichts: W(t) = 70 hat keine Lösung, denn so viel Wasser war nie in der Tonne.
Steigende und fallende Intervalle werden in Stunden angegeben
Eine Funktion steigt auf einem Intervall, wenn ihr Graph dort nach rechts hin ansteigt. Sie fällt, wenn er sinkt, und ist konstant, wenn er waagerecht bleibt. Bei der Tonne steigt er auf (0, 2) und (7, 9), bleibt auf (2, 4) und (9, 10) konstant und fällt auf (4, 7). Intervalle werden mit x-Werten, hier den Zeiten, angegeben, nicht mit den Höhen. Der höchste Wert ist 60, durchgehend von 2 bis 4; der niedrigste ist 0 bei t = 7. Wo ein Graph vom Steigen ins Fallen wechselt, liegt ein lokales Maximum; beim Wechsel vom Fallen ins Steigen ein lokales Minimum.
20 Liter pro Stunde hinein, 20 Liter pro Stunde hinaus
Wie schnell kam Wasser hinzu? Die mittlere Änderungsrate einer Funktion zwischen a und b ist die Änderung der Ausgabe geteilt durch die Änderung der Eingabe: (f(b) − f(a)) / (b − a). Von Stunde 0 bis Stunde 2 beträgt sie (60 − 20)/(2 − 0) = 20 Liter pro Stunde. Von Stunde 4 bis Stunde 7 ist sie (0 − 60)/(7 − 4) = −20 Liter pro Stunde. Das Minuszeichen zeigt den Abfluss an. Am Graphen ist das die Steigung der Geraden durch die beiden Punkte. Eine Gerade hat überall dieselbe Änderungsrate; bei einer Kurve unterscheiden sich die mittleren Änderungsraten je nach Intervall.
Ziehe im Labor über den Graphen, um W(t) zu jeder Zeit abzulesen. Schalte „f(x) = c lösen“ ein und verschiebe eine waagerechte Gerade nach oben oder unten. Die violetten Markierungen zeigen alle Lösungen von W(t) = c. Bei c = 60 oder c = 30 erhältst du statt einzelner Punkte einen ganzen Abschnitt von Lösungen, weil der Graph dort waagerecht ist.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
- Wie groß ist W(1) laut Tonnengraph, in Litern?
- Wie groß ist W(5), in Litern?
- Wie viel Wasser enthielt die Tonne höchstens, in Litern?
- In welchem Intervall bleibt W auf seinem höchsten Stand konstant?
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- In welchem Intervall fällt W?
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- Wie viele Lösungen hat W(t) = 40?
- Wie groß ist die mittlere Änderungsrate von t = 0 bis t = 2 in Litern pro Stunde?
- Wie groß ist die mittlere Änderungsrate von t = 4 bis t = 7?
- Zu welchem Zeitpunkt t war das Fass leer?
- Wie viel Liter sind W(8)?
- Behaupten, W steige auf (20, 60). 20 und 60 sind Füllstände. Intervalle beziehen sich auf die Zeiten auf der waagerechten Achse. Die Antwort lautet also (0, 2).
- Die Änderungsrate von t = 2 bis t = 7 als (7 − 2)/(0 − 60) = −1/12 berechnen. Die Änderung des Ausgabewerts gehört in den Zähler: (0 − 60)/(7 − 2) = −12 Liter pro Stunde.
- Auf W(t) = 30 nur mit t = 9 antworten. Zeichne die ganze Gerade auf Höhe 30. Sie schneidet den Graphen beim Füllen bei t = 0.5 und beim Leeren bei t = 5.5. Von 9 bis 10 verläuft sie auf dem Graphen, also passt auch jedes t zwischen 9 und 10.
- f(a): Von a auf der x-Achse nach oben gehen, dann seitwärts die Höhe ablesen.
- f(x) = c: Zeichne die waagerechte Gerade auf Höhe c und lies alle x ab, bei denen sie den Graphen schneidet.
- Intervalle, in denen die Funktion steigt, fällt oder konstant bleibt, werden mit x-Werten angegeben.
- Mittlere Änderungsrate: (f(b) − f(a)) / (b − a), die Steigung zwischen zwei Punkten.
Quellen zu diesem Kurs (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Abgerufen: 2026-10-18