Umkehrfunktionen
C = (5/9)(F − 32) wandelt 75 °F in etwa 24 °C um. Die Umkehrfunktion F = (9/5)C + 32 wandelt 26 °C in etwa 79 °F um.
Betty liest eine Celsiusvorhersage in Fahrenheit
OpenStax erzählt von Betty, die nach Mailand reist und in Fahrenheit denkt. Die Formel C = (5/9)(F − 32) rechnet Fahrenheit in Celsius um: 75 °F ergeben (5/9)(43), also etwa 24 °C. Die Vorhersage steht aber in Celsius, und jedes Mal die Gleichung nach F aufzulösen wäre mühsam. Sie braucht eine zweite Formel, die eine Celsiustemperatur nimmt und Fahrenheit zurückgibt. Das ist eine Umkehrfunktion: Die Ausgabewerte der ersten werden zu Eingabewerten der zweiten und umgekehrt.
Die −1 in f⁻¹ ist kein Exponent
Die Umkehrfunktion von f schreibt man f⁻¹, gelesen „f invers“. Die −1 gehört zum Namen und ist kein Exponent: f⁻¹(x) ist nicht 1/f(x). Entscheidend ist, dass beide Funktionen einander rückgängig machen. Gilt f(a) = b, dann gilt f⁻¹(b) = a und damit f⁻¹(f(x)) = x sowie f(f⁻¹(x)) = x. Ist etwa f(3) = 10, folgt f⁻¹(10) = 3 ganz ohne Formel. Der Definitionsbereich von f⁻¹ ist der Wertebereich von f, und der Wertebereich von f⁻¹ ist der Definitionsbereich von f.
Nach x auflösen, dann die Buchstaben vertauschen
Um eine Umkehrfunktion aus einer Formel zu gewinnen, schreibe y = f(x), löse nach x auf und vertausche dann die Buchstaben. Für f(x) = 2x + 1: y = 2x + 1, also y − 1 = 2x und x = (y − 1)/2. Nach Umbenennung gilt f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Probe: f(3) = 7 und f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Bei Betty ergibt das Auflösen von C = (5/9)(F − 32) nach F die Formel F = (9/5)C + 32. Damit werden 26 °C zu 26 × 9/5 + 32 = 78.8, also etwa 79 °F, und 20 °C zu 68 °F. Mache die Schritte in umgekehrter Reihenfolge rückgängig: f verdoppelt und addiert dann 1, also zieht f⁻¹ zuerst 1 ab und halbiert danach.
x² bildet 3 und −3 auf dieselbe 9 ab
Nicht jede Funktion lässt sich umkehren. f(x) = x² bildet sowohl 3 als auch −3 auf 9 ab. Eine rückwärts laufende Maschine wüsste bei Eingabe 9 nicht, welchen Wert sie zurückgeben soll. Genau die eineindeutigen Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion. Das prüfst du mit dem Waagerechten-Test aus der ersten Einheit. OpenStax schränkt dazu den Definitionsbereich von x² auf [0, ∞) ein. Auf dieser Hälfte ist die Funktion eineindeutig, und ihre Umkehrfunktion ist die Wurzelfunktion √x. Deshalb bedeutet √9 den Wert 3 und nicht −3.
Der Graph von f⁻¹ ist die Spiegelung von f an y = x
Beim Vertauschen von Eingaben und Ausgaben werden die Koordinaten jedes Punkts vertauscht: Aus (a, b) auf f wird (b, a) auf f⁻¹. Geometrisch ist das eine Spiegelung an der diagonalen Geraden y = x. Der Graph der Umkehrfunktion ist also das Spiegelbild des ursprünglichen Graphen an dieser Geraden. Für f(x) = 2x + 1 wird (1, 3) zu (3, 1), einem Punkt auf y = (x − 1)/2. Verschiebe im Labor den Punkt entlang f und beobachte seinen Partner auf f⁻¹. Wähle f(x) = x² auf allen reellen Zahlen: Das Spiegelbild wird zu einer seitlich liegenden Parabel, die den Senkrechten-Test nicht besteht.
Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.
- Was ist die Umkehrfunktion von f(x) = 2x + 1?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
- Was ist f⁻¹(7) für f(x) = 2x + 1?
- Wenn f(3) = 10 gilt, was ist f⁻¹(10)?
- Was ist f⁻¹(8) für f(x) = x³?
- Besitzt f(x) = x² auf allen reellen Zahlen eine Umkehrfunktion?
- Nein, sie ist nicht eineindeutig
- Ja, √x
- Ja, 1/x²
- Ja, −x²
- Was bedeutet f⁻¹(x)?
- Der Wert der Umkehrfunktion von f an der Stelle x
- 1/f(x)
- f(x) als Zahl hoch −1
- −f(x)
- (2, 5) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f⁻¹?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
- Rechne 20 °C mit F = (9/5)C + 32 in Fahrenheit um.
- Was ist f⁻¹(1) für f(x) = x/2 − 3?
- Was gilt immer für eine Funktion f und ihre Umkehrfunktion?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)
| Umkehrfunktion f⁻¹ | Vertauscht Eingaben und Ausgaben: f(a) = b bedeutet f⁻¹(b) = a |
| f⁻¹ bestimmen | y = f(x) schreiben, nach x auflösen, Buchstaben umbenennen |
| Welche Funktionen umkehrbar sind | Eineindeutige Funktionen (Waagerechten-Test) |
| Graph von f⁻¹ | Das Spiegelbild von f an der Geraden y = x |
- Für f(x) = 3x − 6 die Formel f⁻¹(x) = 1/(3x − 6) schreiben. Das ist der Kehrwert 1/f(x). Mache stattdessen die Schritte rückgängig: f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Probe mit 4: f(4) = 6 und f⁻¹(6) = 4, während 1/f(4) = 1/6.
- f(x) = 2x + 1 durch „halbieren, dann 1 abziehen“ rückgängig machen und x/2 − 1 erhalten. f verdoppelt und addiert dann 1. Die Umkehrfunktion geht rückwärts vor: erst 1 abziehen, dann halbieren. Bei 7 liefert x/2 − 1 den Wert 2.5, aber f(2.5) = 6 und nicht 7.
- f an der x-Achse spiegeln, um f⁻¹ zu zeichnen. Die Spiegelung an der x-Achse ergibt −f(x). Die Umkehrfunktion vertauscht Koordinaten, also spiegelt sie an y = x: (2, 7) auf f(x) = 3x + 1 wird zu (7, 2), nicht zu (2, −7).
- f⁻¹ macht f rückgängig: f⁻¹(f(x)) = x und f(f⁻¹(x)) = x.
- f⁻¹(x) ist nicht 1/f(x).
- So findest du sie: y = f(x), nach x auflösen, Buchstaben vertauschen.
- Nur eineindeutige Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion; der Graph von f⁻¹ ist die Spiegelung von f an y = x.
Quellen zu diesem Kurs (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Abgerufen: 2026-10-18