Fonctions réciproques
C = (5/9)(F − 32) transforme 75 °F en environ 24 °C. Sa réciproque, F = (9/5)C + 32, transforme 26 °C en environ 79 °F.
Betty lit en Fahrenheit une prévision en Celsius
OpenStax raconte l'histoire de Betty, qui part à Milan et raisonne en Fahrenheit. La formule C = (5/9)(F − 32) convertit les Fahrenheit en Celsius : 75 °F donne (5/9)(43), soit environ 24 °C. Mais les prévisions sont en Celsius, et résoudre l'équation en F chaque fois serait fastidieux. Il lui faut une seconde formule qui prend une température en Celsius et renvoie des Fahrenheit. C'est une fonction réciproque : les sorties de la première deviennent les entrées de la seconde, et inversement.
Le −1 de f⁻¹ n'est pas un exposant
La réciproque de f se note f⁻¹ et se lit « f réciproque ». Le −1 appartient à la notation, ce n'est pas un exposant : f⁻¹(x) n'est pas 1/f(x). Les deux fonctions annulent leurs effets respectifs. Si f(a) = b, alors f⁻¹(b) = a, donc f⁻¹(f(x)) = x et f(f⁻¹(x)) = x. Par exemple, si f(3) = 10, alors f⁻¹(10) = 3, sans même connaître de formule. L'ensemble de définition de f⁻¹ est l'ensemble image de f, et son ensemble image est le domaine de f.
Isoler x, puis renommer les lettres
Pour trouver une réciproque à partir d'une formule, écris y = f(x), isole x, puis échange les noms des lettres. Pour f(x) = 2x + 1 : y = 2x + 1, donc y − 1 = 2x et x = (y − 1)/2. En renommant, on obtient f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Vérifie : f(3) = 7 et f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Pour Betty, isoler F dans C = (5/9)(F − 32) donne F = (9/5)C + 32. Ainsi, 26 °C devient 26 × 9/5 + 32 = 78.8, soit environ 79 °F, et 20 °C devient 68 °F. On défait les étapes dans l'ordre inverse : f double puis ajoute 1, donc f⁻¹ soustrait 1 puis divise par deux.
x² envoie 3 et −3 sur le même nombre, 9
Toutes les fonctions ne peuvent pas être inversées. f(x) = x² envoie 3 et −3 sur 9 : une machine inverse recevant 9 ne saurait pas lequel rendre. Une fonction admet une réciproque exactement lorsqu'elle est injective, ce que permet de vérifier le test horizontal de la première leçon. Pour x², OpenStax restreint le domaine à [0, ∞). Sur cette moitié, la fonction est injective et sa réciproque est la fonction racine carrée √x. Voilà pourquoi √9 désigne 3, et non −3.
La courbe de f⁻¹ est la symétrique de celle de f par rapport à y = x
Échanger entrées et sorties échange les coordonnées de chaque point : (a, b) sur f devient (b, a) sur f⁻¹. Géométriquement, c'est une symétrie par rapport à la diagonale y = x. La courbe de la réciproque est donc le reflet de la courbe initiale dans cette droite. Pour f(x) = 2x + 1, le point (1, 3) devient (3, 1), qui appartient à y = (x − 1)/2. Dans le laboratoire, déplace le point sur f et observe son partenaire sur f⁻¹. Choisis f(x) = x² sur tous les réels : le reflet devient une parabole couchée qui échoue au test vertical.
Fais glisser pour tourner. Fais défiler ou écarte et rapproche deux doigts pour zoomer.
- Quelle est la réciproque de f(x) = 2x + 1 ?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
- Pour f(x) = 2x + 1, combien vaut f⁻¹(7) ?
- Si f(3) = 10, combien vaut f⁻¹(10) ?
- Pour f(x) = x³, combien vaut f⁻¹(8) ?
- La fonction f(x) = x², définie sur tous les réels, admet-elle une fonction réciproque ?
- Non, elle n'est pas injective
- Oui, √x
- Oui, 1/x²
- Oui, −x²
- Que signifie f⁻¹(x) ?
- La valeur en x de la fonction réciproque de f
- 1/f(x)
- Le nombre f(x) élevé à la puissance −1
- −f(x)
- (2, 5) appartient à la courbe de f. Quel point appartient à celle de f⁻¹ ?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
- Convertis 20 °C en Fahrenheit avec F = (9/5)C + 32.
- Pour f(x) = x/2 − 3, combien vaut f⁻¹(1) ?
- Quelle égalité est toujours vraie pour une fonction f et sa réciproque ?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)
| Fonction réciproque f⁻¹ | Échange entrées et sorties : f(a) = b signifie f⁻¹(b) = a |
| Trouver f⁻¹ | Écrire y = f(x), isoler x, renommer les lettres |
| Quelles fonctions admettent une réciproque ? | Les fonctions injectives (test de la droite horizontale) |
| Courbe de f⁻¹ | Le reflet de celle de f par rapport à y = x |
- Écrire f⁻¹(x) = 1/(3x − 6) pour f(x) = 3x − 6. C'est l'inverse multiplicatif 1/f(x). Il faut plutôt défaire les étapes : f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Vérifie avec 4 : f(4) = 6 et f⁻¹(6) = 4, tandis que 1/f(4) = 1/6.
- Défaire f(x) = 2x + 1 par « diviser par deux, puis soustraire 1 », ce qui donne x/2 − 1. f double puis ajoute 1 ; la réciproque procède à rebours : soustraire 1 d'abord, puis diviser par deux. En 7, x/2 − 1 donne 2.5, mais f(2.5) = 6, et non 7.
- Tracer f⁻¹ en prenant le reflet de f dans l'axe des abscisses. La symétrie par rapport à l'axe des abscisses donne −f(x). La réciproque échange les coordonnées, donc utilise la droite y = x : (2, 7) sur f(x) = 3x + 1 devient (7, 2), pas (2, −7).
- f⁻¹ défait f : f⁻¹(f(x)) = x et f(f⁻¹(x)) = x.
- f⁻¹(x) n'est pas 1/f(x).
- Pour la trouver : écrire y = f(x), isoler x, échanger les lettres.
- Seules les fonctions injectives admettent une réciproque ; sa courbe est le reflet de celle de f par rapport à y = x.
Sources de ce cours (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Consulté le: 2026-10-18