Transformations de courbes

La courbe de y = (x − 3)² + 1 est celle de y = x² déplacée de 3 vers la droite et de 1 vers le haut. Le sommet passe de (0, 0) à (3, 1).

À ton avis, x − 3 déplace-t-il la courbe à gauche ou à droite ?

Commence dans le laboratoire avant de lire les règles. Il affiche g(x) = (x − 3)² + 1 au-dessus de la courbe de référence y = x² en pointillés. Sans regarder de trop près, devine : x − 3 pousse-t-il la courbe à gauche ou à droite ? Repère maintenant le point rouge : il est en (3, 1). À droite, donc. Règle k sur −2 : toute la courbe descend. Règle a sur −2 : elle se retourne et se resserre. Garde en tête cette première surprise, un signe moins qui déplace à droite : la suite l'explique.

Quatre courbes de référence à reconnaître

Quelques courbes de base méritent d'être reconnues à leur forme : y = x², la parabole ; y = |x|, un V dont le coin est à l'origine ; y = √x, une demi-parabole couchée partant de l'origine ; et y = x³, qui monte en traversant l'origine avec une tangente horizontale à cet endroit. OpenStax les appelle les fonctions de la boîte à outils. Beaucoup de courbes sont l'une de ces formes déplacée, retournée ou étirée ; quatre règles décrivent ces changements. En connaissant la référence et les règles, tu peux tracer la nouvelle courbe en quelques secondes, sans tableau.

Ajouter 20 à l'extérieur relève de 20 la courbe des ouvertures du toit

Ajouter une constante à l'extérieur de la fonction déplace la courbe verticalement. Si g(x) = f(x) + k, chaque sortie augmente de k : la courbe monte de k unités si k > 0 et descend si k < 0. OpenStax donne l'exemple d'un bâtiment écologique dont les ouvertures du toit varient au cours de la journée. Si V(t) est la surface ouverte en pieds carrés, t heures après minuit, et que le responsable ouvre 20 pieds carrés supplémentaires jour et nuit, la nouvelle fonction est S(t) = V(t) + 20 : la même courbe, relevée de 20. Seules les sorties changent, pas les entrées.

Pourquoi x − 3 déplace à droite, pas à gauche

Modifier l'entrée déplace la courbe horizontalement, dans un sens souvent surprenant. La courbe de g(x) = f(x − h) est celle de f déplacée de h unités à droite. Pour comprendre, cherche où g retrouve la sortie que f avait en 0 : g(x) = f(0) lorsque x − h = 0, donc en x = h. Tout se produit h unités plus tard. Ainsi, (x − 3)² se décale de 3 à droite, et |x + 2| = |x − (−2)| de 2 à gauche. Un moins à l'intérieur signifie droite ; un plus signifie gauche.

Un moins à l'extérieur échange haut et bas ; à l'intérieur, gauche et droite

Un signe moins devant la fonction, g(x) = −f(x), change le signe de chaque sortie : la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. −√x se trouve sous l'axe au lieu de monter au-dessus. Un moins sur l'entrée, g(x) = f(−x), donne une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : √(−x) part de l'origine vers la gauche. Multiplier les sorties par un nombre positif a étire verticalement si a > 1 et comprime si 0 < a < 1 : 2|x| forme un V plus raide et (1/2)x² une parabole plus large.

Suivre un point suffit à retrouver le déplacement de la courbe

Pour tracer g(x) = a f(x − h) + k, suis quelques points de la courbe de référence. Un point (x, y) de f devient (x + h, a·y + k) sur g. Le point (4, 2) appartient à y = √x ; sur y = √(x − 1) + 3, il devient (5, 5). Le coin (0, 0) de |x| devient (3, 1) sur y = 2|x − 3| + 1. Retourne au laboratoire en haut, choisis une référence, fais varier a, h et k et observe le point rouge. Le panneau énumère les transformations et indique la position de deux autres points.