그래프의 변환
y = (x − 3)² + 1의 그래프는 y = x²의 그래프를 오른쪽으로 3, 위로 1만큼 옮긴 것입니다. 꼭짓점이 (0, 0)에서 (3, 1)로 갑니다.
x − 3은 곡선을 어느 쪽으로 옮길까요
규칙을 읽기 전에 실험실부터 써 보겠습니다. 화면에는 점선으로 그린 y = x²와 g(x) = (x − 3)² + 1이 함께 있습니다. 자세히 보기 전에 짐작해 보세요. 괄호 안의 x − 3은 곡선을 왼쪽으로 밀까요, 오른쪽으로 밀까요? 빨간 기준점을 찾아보면 (3, 1)에 있습니다. 오른쪽입니다. k를 −2로 내리면 곡선 전체가 아래로 내려가고, a를 −2로 바꾸면 위아래가 뒤집히면서 좁아집니다. 빼기 부호가 있는데 그래프는 오른쪽으로 갔습니다. 이 단원은 그 까닭부터 차례로 설명합니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
모양으로 기억해 둘 기본 그래프 네 개
기본 그래프 몇 개는 모양만 보고 알아볼 수 있게 익혀 두면 편합니다. 포물선 y = x², 원점에서 꺾이는 V자 y = |x|, 원점에서 출발해 오른쪽으로만 뻗는 y = √x(옆으로 누운 포물선의 절반), 원점을 지나며 올라가다 원점에서 잠깐 평평해지는 y = x³입니다. OpenStax 교재는 이것들을 기본 도구 함수(toolkit functions)라고 부릅니다. 앞으로 만날 그래프 대부분은 이 넷 가운데 하나를 변형한 모양이고, 그 변형은 규칙 네 가지로 모두 설명됩니다. 기본 그래프와 규칙만 알면 표를 만들지 않아도 몇 초 만에 대강의 그래프를 그릴 수 있습니다.
함수 바깥에 더하면 위아래로 평행이동합니다
함수 바깥에 상수 k를 더해 g(x) = f(x) + k로 만들면 모든 출력이 k만큼 커집니다. 그래프는 k > 0이면 위로, k < 0이면 아래로 움직이고, 우리말로는 「y축 방향으로 k만큼 평행이동한다」고 합니다. OpenStax 교재에는 낮 동안 지붕 환기구가 열렸다 닫혔다 하는 친환경 건물 이야기가 나옵니다. 자정부터 t시간 뒤 열려 있는 환기구 넓이(제곱피트)를 V(t)라고 할 때, 관리자가 밤낮으로 20제곱피트를 더 열어 두면 새 함수는 S(t) = V(t) + 20입니다. 그래프는 원래 그래프를 20만큼 그대로 들어 올린 모양이고, 입력인 시각은 바뀌지 않습니다. 택시 요금으로 생각해도 같습니다(지어낸 예). 어느 거리에서나 요금이 1,000원씩 오르면 거리에 따른 요금 그래프 전체가 1,000원만큼 위로 평행이동합니다.
x − 3이 그래프를 오른쪽으로 옮기는 까닭
입력을 바꾸면 그래프가 옆으로 움직이는데, 방향이 예상과 반대입니다. g(x) = f(x − h)의 그래프는 f의 그래프를 오른쪽으로 h만큼 옮긴 그래프입니다. f가 x = 0에서 내던 값 f(0)을 g는 어디서 낼까요? x − h = 0이 되는 x = h에서입니다. f에서 일어나던 일이 g에서는 모두 h만큼 늦게, 그러니까 h만큼 오른쪽에서 일어납니다. 그래서 (x − 3)²는 x축 방향으로 3만큼 평행이동하고, |x + 2| = |x − (−2)|는 x축 방향으로 −2만큼, 다시 말해 왼쪽으로 2만큼 평행이동합니다. 괄호 안이 빼기면 오른쪽, 더하기면 왼쪽입니다. 표로 확인해도 같습니다. x²는 x = 0에서 0이 되고 (x − 3)²는 x = 3에서 0이 되니, 0이 나오는 자리가 3만큼 오른쪽으로 옮겨 갔습니다. 고등학교 공통수학2에서는 성취기준 [10공수2-01-06]이 평행이동을, [10공수2-01-07]이 x축·y축·원점·직선 y = x에 대한 대칭이동을 다룹니다.
바깥의 빼기는 위아래를, 안쪽의 빼기는 좌우를 뒤집습니다
바깥에 빼기를 붙인 g(x) = −f(x)는 출력의 부호를 모두 바꾸므로 그래프를 x축에 대해 대칭이동합니다. −√x는 축 위로 올라가지 않고 축 아래로 내려갑니다. 입력에 빼기를 붙인 g(x) = f(−x)는 y축에 대해 대칭이동합니다. √(−x)는 원점에서 출발해 왼쪽으로 뻗습니다. 맨 위 실험실에서 a를 −1로 두면 x축에 대해 뒤집힌 그래프를 바로 볼 수 있습니다. 출력에 양수 a를 곱하면 a > 1일 때 세로로 늘어나고, 0 < a < 1일 때 세로로 줄어듭니다. 2|x|가 |x|보다 가파른 V자이고, (1/2)x²가 x²보다 넓은 포물선인 까닭입니다.
점 하나를 따라가면 그래프 전체가 따라옵니다
g(x) = a f(x − h) + k의 그래프는 기본 그래프의 점 몇 개를 따라가며 그리면 틀리지 않습니다. f 위의 점 (x, y)는 g 위의 점 (x + h, a·y + k)로 갑니다. y = √x 위의 점 (4, 2)는 y = √(x − 1) + 3에서 (5, 5)가 되고, |x|의 꺾인 점 (0, 0)은 y = 2|x − 3| + 1에서 (3, 1)이 됩니다. 꼭짓점이나 꺾인 점처럼 눈에 띄는 점을 먼저 옮기고, 나머지 점 두세 개로 모양을 맞추면 됩니다. 맨 위 실험실로 돌아가 기본 함수를 바꾸고 a, h, k를 움직여 보세요. 빨간 기준점이 어디로 가는지와, 아래 칸이 변환을 어떤 순서로 적는지 함께 보면 됩니다.
- g(x) = x² + 3의 그래프는 y = x²와 비교해 어떻게 다를까요?
- 위로 3
- 아래로 3
- 오른쪽으로 3
- 왼쪽으로 3
- g(x) = (x − 4)²는 y = x²와 비교해 어떻게 다를까요?
- 오른쪽으로 4
- 왼쪽으로 4
- 위로 4
- 아래로 4
- g(x) = |x + 2|는 y = |x|와 비교해 어떻게 다를까요?
- 왼쪽으로 2
- 오른쪽으로 2
- 위로 2
- 아래로 2
- g(x) = −√x의 그래프는 y = √x와 비교해 어떤 모습일까요?
- x축에 대해 뒤집힘
- y축에 대해 뒤집힘
- 아래로 1 이동
- 세로로 2배
- g(x) = (x + 1)² − 5의 꼭짓점은 어디일까요?
- (−1, −5)
- (1, −5)
- (−1, 5)
- (1, 5)
- y = 2|x − 3| + 1의 꺾인 점은 어디에 있을까요?
- (3, 1)
- (−3, 1)
- (3, 2)
- (1, 3)
- y = (1/2)x²는 y = x²와 비교해 어떻게 다를까요?
- 세로로 줄어듦(더 넓음)
- 세로로 늘어남(더 좁음)
- 아래로 1/2 이동
- 뒤집힘
- (4, 2)는 y = √x 위에 있습니다. y = √(x − 1) + 3 위에 있는 점은 어느 것일까요?
- (5, 5)
- (3, 5)
- (5, −1)
- (4, 5)
- g(x) = f(−x)는 어떤 변환일까요?
- y축에 대한 대칭
- x축에 대한 대칭
- 왼쪽으로 1 이동
- 변화 없음
- y = x³의 그래프를 아래로 2만큼 옮기면 g(x)의 그래프가 됩니다. g(2)는 얼마일까요?
- y = (x + 2)²를 「오른쪽으로 2」로 읽기 x + 2 = x − (−2)이므로 h = −2, 그래프는 왼쪽으로 2만큼 갑니다. 꼭짓점은 (−2, 0)이고, (−2 + 2)² = 0으로 확인됩니다.
- f(x + 2)와 f(x) + 2를 같은 그래프로 보기 f(x) = x²이면 f(x + 2) = (x + 2)²는 왼쪽으로 2, f(x) + 2 = x² + 2는 위로 2만큼 옮긴 그래프입니다. x = 1에서 각각 9와 3이 나옵니다.
- y = x² 위의 (2, 4)를 y = (x + 3)² − 1에서 (5, 3)으로 옮기기 여기서 h = −3이라 x는 왼쪽으로 갑니다. (2 − 3, 4 − 1) = (−1, 3)이고, (−1 + 3)² − 1 = 3으로 확인됩니다.
- f(x) + k는 위로 k(k < 0이면 아래로)입니다.
- f(x − h)는 오른쪽으로 h, f(x + h)는 왼쪽으로 h입니다.
- −f(x)는 x축 대칭, f(−x)는 y축 대칭입니다.
- a·f(x)는 a > 1이면 늘이기, 0 < a < 1이면 줄이기입니다. 점 (x, y)는 (x + h, a·y + k)로 갑니다.
이 과정의 출처 (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
확인한 날: 2026-10-18