グラフの変換
y = (x − 3)² + 1のグラフは、y = x²を右に3、上に1動かしたものです。頂点は(0, 0)から(3, 1)に移ります。
まず予想：x − 3で曲線は左へ、それとも右へ？
規則を読む前に実験を始めましょう。最初はg(x) = (x − 3)² + 1と、破線の基本のグラフy = x²が表示されます。よく見る前に、x − 3は曲線を左右どちらへ動かすか予想してください。赤い代表点を探すと(3, 1)にあります。右ですね。kを−2にすると全体が下がり、aを−2にすると上下が反転して幅が狭くなります。マイナスなのに右へ動いた驚きを覚えておきましょう。この単元で理由を説明します。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
形を覚えたい四つの基本のグラフ
形で覚えておきたい基本のグラフがあります。y = x²は放物線、y = |x|は原点を角とするV字、y = √xは原点から始まる横向きの放物線の半分、y = x³は原点で一時的に水平になりながら上がる曲線です。OpenStaxではこれらを道具となる関数と呼びます。多くのグラフはこのどれかを移動、反転、拡大・縮小したもので、四つの規則で変化を説明できます。基本形と規則が分かれば、表を作らず数秒で新しいグラフを描けます。
外側に20を足すと、屋根の換気口のグラフは20上がる
関数の外側に定数を足すと、グラフは上下に移動します。g(x) = f(x) + kでは出力がすべてk増え、k > 0なら上へk、k < 0なら下へ動きます。OpenStaxには、屋根の換気口が一日の間に開閉する環境配慮型の建物の例があります。午前0時からt時間後の開口面積を平方フィートでV(t)とし、管理者が終日さらに20平方フィート開けると、新しい関数はS(t) = V(t) + 20です。グラフが20上がるだけで、出力だけが変わり、入力は変わりません。
x − 3で左ではなく右に動く理由
入力を変えるとグラフは横に動き、その向きは意外に感じられます。g(x) = f(x − h)はfを右にh動かしたグラフです。fが0で出す値をgがどこで出すか考えましょう。x − h = 0、つまりx = hのときg(x) = f(0)です。すべてがhだけ後で起きます。したがって(x − 3)²は右に3、|x + 2| = |x − (−2)|は左に2動きます。括弧内のマイナスは右、プラスは左です。
外のマイナスは上下、内のマイナスは左右を反転する
前にマイナスを付けたg(x) = −f(x)は、出力の符号を変えてx軸に関して対称移動します。−√xは軸の上ではなく下に伸びます。入力のマイナスg(x) = f(−x)はy軸に関する対称移動で、√(−x)は原点から左へ伸びます。出力を正の数a倍すると、a > 1なら縦に拡大し、0 < a < 1なら縮小します。2|x|は急なV字、(1/2)x²は幅の広い放物線です。
一点を追えば、グラフ全体もついてくる
g(x) = a f(x − h) + kを描くには、基本のグラフのいくつかの点を追うと確実です。f上の点(x, y)はg上の(x + h, a·y + k)に移ります。y = √x上の(4, 2)は、y = √(x − 1) + 3では(5, 5)になります。|x|の角(0, 0)は、y = 2|x − 3| + 1では(3, 1)です。上の実験に戻って基本形を選び、a、h、kを動かして赤い代表点を見ましょう。パネルには操作の順序と、ほかの二点の移動先も表示されます。
- g(x) = x² + 3のグラフはy = x²と比べてどう変わりますか。
- 上に3
- 下に3
- 右に3
- 左に3
- g(x) = (x − 4)²はy = x²と比べてどう変わりますか。
- 右に4
- 左に4
- 上に4
- 下に4
- g(x) = |x + 2|はy = |x|と比べてどう変わりますか。
- 左に2
- 右に2
- 上に2
- 下に2
- g(x) = −√xのグラフはy = √xと比べてどうなりますか。
- x軸に関して対称移動
- y軸に関して対称移動
- 下に1移動
- 2倍に拡大
- g(x) = (x + 1)² − 5の頂点はどこですか。
- (−1, −5)
- (1, −5)
- (−1, 5)
- (1, 5)
- y = 2|x − 3| + 1の角はどこですか。
- (3, 1)
- (−3, 1)
- (3, 2)
- (1, 3)
- y = (1/2)x²はy = x²と比べてどう変わりますか。
- 縦に縮小（幅が広くなる）
- 縦に拡大（幅が狭くなる）
- 下に1/2移動
- 対称移動
- (4, 2)はy = √x上にあります。y = √(x − 1) + 3上の点はどれですか。
- (5, 5)
- (3, 5)
- (5, −1)
- (4, 5)
- g(x) = f(−x)ではどのような変換をしますか。
- y軸に関する対称移動
- x軸に関する対称移動
- 左に1移動
- 変化なし
- g(x)はy = x³を下に2動かした関数です。g(2)はいくつですか。
- y = (x + 2)²を「右に2移動」と読む。 x + 2 = x − (−2)なのでh = −2、左に2移動します。頂点は(−2, 0)です。確認すると(−2 + 2)² = 0です。
- f(x + 2)とf(x) + 2を同じグラフと考える。 f(x) = x²なら、f(x + 2) = (x + 2)²は左に2、f(x) + 2 = x² + 2は上に2動きます。x = 1ではそれぞれ9と3です。
- y = x²上の(2, 4)を、y = (x + 3)² − 1上の(5, 3)に移す。 h = −3なので左へ移動し、(2 − 3, 4 − 1) = (−1, 3)です。確認すると(−1 + 3)² − 1 = 3になります。
- f(x) + k：上へk移動します（k < 0なら下へ）。
- f(x − h)は右へh、f(x + h)は左へh移動します。
- −f(x)はx軸、f(−x)はy軸に関して対称移動します。
- a·f(x)：a > 1なら拡大、0 < a < 1なら縮小です。点(x, y)は(x + h, a·y + k)に移ります。
このコースの出典 (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
確認日: 2026-10-18