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逆関数

C = (5/9)(F − 32)は75 °Fを約24 °Cに変換します。逆関数F = (9/5)C + 32は26 °Cを約79 °Fに変換します。

ベティは摂氏の予報を華氏で読む

OpenStaxには、ミラノに行く、華氏に慣れたベティの話があります。C = (5/9)(F − 32)は華氏を摂氏に変え、75 °Fは(5/9)(43)で約24 °Cです。しかし予報は摂氏なので、そのたびにFについて解くのは面倒です。欲しいのは、摂氏を入れると華氏が返る別の式です。これが逆関数で、元の出力が入力に、入力が出力になります。

f⁻¹の−1は指数ではない

fの逆関数はf⁻¹と書き、「エフ・インバース」と読みます。−1は名前の一部であって指数ではなく、f⁻¹(x)は1/f(x)ではありません。二つの関数が互いの操作を元に戻すことが特徴です。f(a) = bならf⁻¹(b) = aなので、f⁻¹(f(x)) = x、f(f⁻¹(x)) = xです。例えばf(3) = 10なら、式がなくてもf⁻¹(10) = 3と分かります。f⁻¹の定義域はfの値域、f⁻¹の値域はfの定義域です。

xについて解き、文字を入れ替える

式から逆関数を求めるには、y = f(x)と書き、xについて解いて、文字の名前を入れ替えます。f(x) = 2x + 1なら、y = 2x + 1よりy − 1 = 2x、x = (y − 1)/2です。名前を変えるとf⁻¹(x) = (x − 1)/2です。f(3) = 7、f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3で確認できます。ベティの式C = (5/9)(F − 32)をFについて解くとF = (9/5)C + 32です。26 °Cは26 × 9/5 + 32 = 78.8、約79 °Fに、20 °Cは68 °Fになります。操作を逆順で戻しましょう。fは2倍して1を足すので、f⁻¹は1を引いて半分にします。

x²は3も−3も同じ9にする

すべての関数を逆にたどれるわけではありません。f(x) = x²は3も−3も9にするため、逆の機械に9を入れても、どちらを返すか決まりません。逆関数を持つ条件は一対一であることで、最初の単元の水平線で判定できます。OpenStaxではx²の定義域を[0, ∞)に制限します。この半分なら一対一で、逆関数は平方根の関数√xです。そのため√9は−3ではなく3を表します。

f⁻¹のグラフはfを直線y = xに関して対称移動したもの

入力と出力を入れ替えると、f上の各点(a, b)はf⁻¹上の(b, a)になります。幾何的には対角線y = xに関する対称移動です。逆関数のグラフは、この直線を鏡にした元のグラフの像です。f(x) = 2x + 1上の(1, 3)は、y = (x − 1)/2上の(3, 1)に移ります。実験でf上の点を動かし、f⁻¹上の対応する点を見ましょう。すべての実数上のf(x) = x²を選ぶと、鏡像は横向きの放物線になり、垂直線の判定で不合格になります。

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青はf(x) = 2x + 1、破線はy = x、オレンジはf⁻¹(x) = (x − 1)/2です。点(1, 3)と鏡像(3, 1)を示しています。x³、次にすべての実数上のx²を試しましょう。
  1. f(x) = 2x + 1の逆関数はどれですか。
    • (x − 1)/2
    • 2x − 1
    • 1/(2x + 1)
    • (x + 1)/2
  2. f(x) = 2x + 1のとき、f⁻¹(7)はいくつですか。
  3. f(3) = 10のとき、f⁻¹(10)はいくつですか。
  4. f(x) = x³のとき、f⁻¹(8)はいくつですか。
  5. すべての実数上のf(x) = x²は逆関数を持ちますか。
    • いいえ、一対一ではありません
    • はい、√xです
    • はい、1/x²です
    • はい、−x²です
  6. f⁻¹(x)は何を意味しますか。
    • fの逆関数のxでの値
    • 1/f(x)
    • 数としてのf(x)の−1乗
    • −f(x)
  7. (2, 5)がfのグラフ上にあります。f⁻¹のグラフ上の点はどれですか。
    • (5, 2)
    • (2, 5)
    • (−2, −5)
    • (1/2, 1/5)
  8. F = (9/5)C + 32で20 °Cを華氏に変換しましょう。
  9. f(x) = x/2 − 3のとき、f⁻¹(1)はいくつですか。
  10. 関数fとその逆関数について、必ず成り立つのはどれですか。
    • f(f⁻¹(x)) = x
    • f(x) · f⁻¹(x) = 1
    • f⁻¹(x) = −f(x)
    • f(x) = f⁻¹(x)
逆関数f⁻¹入力と出力を交換：f(a) = bならf⁻¹(b) = a
f⁻¹の求め方y = f(x)と書き、xについて解き、文字を入れ替える
逆関数を持つ関数一対一の関数（水平線による判定）
f⁻¹のグラフ直線y = xを鏡にしたfの鏡像
よくある間違い
  • f(x) = 3x − 6の逆関数をf⁻¹(x) = 1/(3x − 6)と書く。 それは逆数1/f(x)です。操作を元に戻すとf⁻¹(x) = (x + 6)/3です。4で確かめるとf(4) = 6、f⁻¹(6) = 4ですが、1/f(4) = 1/6です。
  • f(x) = 2x + 1を「半分にしてから1を引く」と戻し、x/2 − 1とする。 fは2倍して1を足すので、逆関数は逆順に、まず1を引き、次に半分にします。7をx/2 − 1に入れると2.5ですが、f(2.5) = 6で7には戻りません。
  • fをx軸に関して対称移動してf⁻¹を描く。 x軸に関する鏡像は−f(x)です。逆関数は座標を交換するので、鏡はy = xです。f(x) = 3x + 1上の(2, 7)は(2, −7)ではなく(7, 2)に移ります。
先生からひとことつまずきやすい点が二つあります。f⁻¹は累乗に見えるので、具体的な関数でf⁻¹(5)と1/f(5)を並べて計算しましょう。また「xとyを交換する」だけでは手品のようです。まずfの値の表を作り、二列を入れ替えてからxについて解くと、交換する理由が分かります。x²の定義域を制限する例は、一対一の考えが定着してから扱いましょう。
ポイント
  • f⁻¹はfを元に戻します。f⁻¹(f(x)) = x、f(f⁻¹(x)) = xです。
  • f⁻¹(x)は1/f(x)ではありません。
  • 求め方：y = f(x)と書き、xについて解き、文字を入れ替えます。
  • 逆関数を持つのは一対一の関数だけです。f⁻¹のグラフはfをy = xに関して対称移動したものです。
このコースの出典 (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

確認日: 2026-10-18