グラフの読み方
雨水タンクのグラフが2時間で20リットルから60リットルに上がったので、流入量は平均で毎時20リットルです。
タンクに40リットルあったのはいつ？
先を読む前に考えましょう。この単元の架空の庭用雨水タンクには、雨水がたまり、庭への水やりで空になり、再び水がたまります。下のグラフは時間と水量の記録です。ちょうど40リットルだったのはいつでしょう。一つはすぐ見つかりますが、もう一つあります。両方見つけてから、高さ40の水平線の節で確かめましょう。
雨水タンクの時間ごとの変化
一日の気温、一年間の燃料価格、タンクの水位など、多くの関数は式ではなくグラフで示されます。この単元の架空の例を考えましょう。庭の雨水タンクには正午（時刻0）に20リットルあります。雨で時刻2には60リットルになり、雨がやんで時刻4まで60のままです。その後、水やりで時刻7には空になります。次の雨で時刻9に30リットルとなり、時刻10まで変わりません。時間に対するリットル数の関数W(t)は、線分をつないだグラフです。
高さ40の水平線は二回交わる
W(1)を求めるには、横軸の1から上に進んでグラフに達し、横に進んで縦軸を読みます。40リットルです。時刻0と時刻2の中間なので、水量も20と60の中間です。逆に40リットルだった時刻を求めるには、高さ40の水平線を引いて交点を探します。流入中のt = 1と、流出中のt = 5の二か所です。したがってW(t) = 40の解は二つあります。高さ70の線は交わらないのでW(t) = 70に解はなく、そこまで水がたまったことはありません。
増加・減少する区間は時間で表す
右に進むとグラフが上がる区間では関数は増加、下がる区間では減少、水平なら一定です。タンクは(0, 2)と(7, 9)で増加、(2, 4)と(9, 10)で一定、(4, 7)で減少します。区間は高さではなく、xの値である時間で書きます。最大値は2から4まで続く60、最小値はt = 7での0です。上昇から下降に変わるところが極大、下降から上昇に変わるところが極小です。
毎時20リットル入り、毎時20リットル出る
水はどれくらいの速さで入りましたか。aからbまでの関数の平均変化率は、出力の変化を入力の変化で割った(f(b) − f(a)) / (b − a)です。時刻0から時刻2では(60 − 20)/(2 − 0) = 20リットル毎時、時刻4から時刻7では(0 − 60)/(7 − 4) = −20リットル毎時です。負の符号は水が出ていったことを表します。グラフでは二点を結ぶ直線の傾きなので、直線ならどの区間でも同じですが、曲線では区間によって異なります。
実験ではグラフ上をドラッグして各時刻のW(t)を読み取ります。「f(x) = cを解く」を有効にすると水平線を上下に動かせます。紫の印がW(t) = cのすべての解です。c = 60やc = 30ではグラフが水平なので、解は点ではなく区間全体になります。
ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。
- タンクのグラフで、W(1)は何リットルですか。
- W(5)は何リットルですか。
- タンクにあった水の最大量は何リットルですか。
- Wが最大の水量で一定になる区間はどれですか。
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- Wが減少する区間はどれですか。
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- W(t) = 40の解はいくつありますか。
- t = 0からt = 2までの平均変化率は毎時何リットルですか。
- t = 4からt = 7までの平均変化率はいくつですか。
- タンクが空になった時刻tはいくつですか。
- W(8)は何リットルですか。
- Wは(20, 60)で増加すると答える。 20と60は高さです。区間は横軸の時間で読むので、答えは(0, 2)です。
- t = 2からt = 7までの変化率を(7 − 2)/(0 − 60) = −1/12と計算する。 分子には出力の変化を置きます。(0 − 60)/(7 − 2) = −12リットル毎時です。
- W(t) = 30の答えをt = 9だけとする。 高さ30の線を端まで引きます。流入中のt = 0.5、流出中のt = 5.5で交わり、9から10まではグラフと重なります。9から10までのすべてのtも解です。
- f(a)：x軸のaから上へ進み、横へ進んで高さを読みます。
- f(x) = c：高さcの水平線を引き、グラフとの交点のxをすべて読みます。
- 増加、減少、一定の区間はxの値で書きます。
- 平均変化率は(f(b) − f(a)) / (b − a)で、二点を結ぶ直線の傾きです。
このコースの出典 (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
確認日: 2026-10-18