Een grafiek lezen
Een regenton stijgt in twee uur van 20 naar 60 liter: gemiddeld 20 liter per uur erbij.
Wanneer zat er 40 liter in de ton?
Probeer deze vraag voordat je verder leest. Een voor dit hoofdstuk verzonnen regenton vult zich met regen, wordt in de tuin geleegd en vult zich opnieuw. De grafiek hieronder zet liters uit tegen uren. Wanneer bevatte de ton precies 40 liter? Eén antwoord valt meteen op. Er is ook een tweede. Zoek ze allebei en controleer ze vervolgens bij het onderdeel over de lijn op 40.
De regenton uur na uur
Veel functies krijg je als grafiek in plaats van als formule: de temperatuur gedurende een dag, de brandstofprijs gedurende een jaar of de waterstand in een tank. Neem dit verzonnen voorbeeld. Om twaalf uur, uur 0, bevat een regenton 20 liter. Regen vult haar tegen uur 2 tot 60 liter. De regen stopt en tot uur 4 blijft het niveau op 60. Daarna geeft iemand de tuin water en tegen uur 7 is de ton leeg. Een tweede bui vult haar tegen uur 9 weer tot 30 liter. Dat blijft zo tot uur 10. De grafiek van W(t), liters tegen uren, is een keten van rechte stukken.
De lijn op 40 snijdt de grafiek tweemaal
Voor W(1) begin je bij 1 op de horizontale as, ga je omhoog naar de grafiek en vervolgens opzij naar de verticale as: 40 liter. Halverwege uur 0 en uur 2 ligt het niveau halverwege 20 en 60. Voor de omgekeerde vraag, wanneer er 40 liter was, teken je een horizontale lijn op 40 en zoek je de snijpunten. Dat zijn er twee: t = 1 tijdens het vullen en t = 5 tijdens het legen. W(t) = 40 heeft dus twee oplossingen. De lijn op 70 raakt de grafiek nergens. W(t) = 70 heeft geen oplossing, want zoveel bevatte de ton nooit.
Stijgende en dalende intervallen schrijf je in uren
Een functie stijgt op een interval als haar grafiek daar naar rechts omhooggaat, daalt als die omlaaggaat en is constant als die horizontaal blijft. De regenton stijgt op (0, 2) en (7, 9), is constant op (2, 4) en (9, 10) en daalt op (4, 7). Je schrijft intervallen met x-waarden, hier tijden, niet met hoogten. De hoogste waarde is 60, over het hele stuk van 2 tot 4. De laagste is 0, bij t = 7. Waar een grafiek van stijgen naar dalen overgaat, ligt een lokaal maximum. Waar zij van dalen naar stijgen overgaat, ligt een lokaal minimum.
20 liter per uur erin, 20 liter per uur eruit
Hoe snel kwam water binnen? Gemiddelde verandering tussen a en b is uitvoerverschil gedeeld door invoerverschil: (f(b) − f(a)) / (b − a). Van uur 0 naar 2: (60 − 20)/(2 − 0) = 20 liter per uur. Van 4 naar 7: (0 − 60)/(7 − 4) = −20 liter per uur. Negatief betekent eruit. Grafisch is dit de helling van de verbindingslijn tussen twee punten. Een rechte lijn heeft overal dezelfde verandering; een kromme verschillende gemiddelden op verschillende intervallen.
Sleep over de grafiek om W(t) af te lezen. Zet Los f(x) = c op aan voor een horizontale schuiflijn. Paarse markeringen geven alle oplossingen van W(t) = c. Bij c = 60 of c = 30 krijg je hele stukken in plaats van losse punten, omdat de grafiek daar vlak is.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
- Wat is W(1) in liter op de tongrafiek?
- Wat is W(5) in liter?
- Wat was de grootste hoeveelheid water in liter?
- Op welk interval blijft W op het hoogste niveau constant?
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- Op welk interval daalt W?
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- Hoeveel oplossingen heeft W(t) = 40?
- Gemiddelde verandering van t = 0 tot t = 2, in liter per uur?
- Gemiddelde verandering van t = 4 tot t = 7?
- Op welk tijdstip t was de ton leeg?
- Wat is W(8) in liter?
- Zeggen dat W stijgt op (20, 60). 20 en 60 zijn hoogten. Intervallen zijn tijden op de horizontale as: (0, 2).
- Verandering van t = 2 tot t = 7 berekenen als (7 − 2)/(0 − 60) = −1/12. Uitvoerverschil bovenaan: (0 − 60)/(7 − 2) = −12 liter per uur.
- W(t) = 30 alleen beantwoorden met t = 9. Teken de hele lijn op 30. Ze snijdt bij t = 0.5 tijdens vullen en t = 5.5 tijdens legen, en ligt van 9 tot 10 op de grafiek: elke t van 9 tot 10 voldoet ook.
- f(a): vanaf a op de x-as omhoog, dan opzij voor de hoogte.
- f(x) = c: teken de horizontale lijn op c en lees alle snijpunt-x-waarden af.
- Stijgende, dalende en constante intervallen gebruik je met x-waarden.
- Gemiddelde verandering: (f(b) − f(a)) / (b − a), de helling tussen twee punten.
Bronnen van deze cursus (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Geraadpleegd: 2026-10-18