Чтение графика
За два часа объём воды в дождевой бочке вырос с 20 до 60 литров. Значит, средняя скорость наполнения составила 20 литров в час.
Когда в бочке было 40 литров?
Прежде чем читать дальше, реши задачу. В вымышленном примере садовая бочка наполняется дождевой водой, затем воду используют для полива, а потом бочка снова наполняется. Ниже показан график объёма в литрах по времени в часах. Когда в ней было ровно 40 литров? Один ответ заметен сразу. Но есть и второй. Найди оба и проверь их в разделе о прямой на уровне 40.
Дождевая бочка час за часом
Многие функции заданы не формулами, а графиками: температура в течение дня, цена топлива за год, уровень воды в баке. Возьмём вымышленный пример. В полдень, в момент 0, в садовой бочке 20 литров. К часу 2 дождь наполняет её до 60 литров. Дождь прекращается, и до часа 4 объём остаётся равным 60. Затем воду используют для полива, и к часу 7 бочка пуста. Новый дождь наполняет её до 30 литров к часу 9; столько же остаётся до часа 10. График функции W(t), объёма в литрах по времени в часах, состоит из отрезков.
Прямая на уровне 40 пересекает график дважды
Чтобы найти W(1), отметь 1 на горизонтальной оси, поднимись до графика и перейди к вертикальной оси: 40 литров. Посередине между часами 0 и 2 объём находится посередине между 20 и 60. Для обратного вопроса, когда было 40 литров, проведи горизонтальную прямую на уровне 40. Она пересекает график дважды: при t = 1 во время наполнения и при t = 5 во время опустошения. Уравнение W(t) = 40 имеет два решения. Прямая на уровне 70 график не пересекает, поэтому W(t) = 70 решений не имеет: столько воды в бочке не было.
Промежутки возрастания и убывания записывают в часах
Функция возрастает на промежутке, если при движении вправо график идёт вверх, убывает, если вниз, и постоянна, если идёт горизонтально. В примере объём возрастает на (0, 2) и (7, 9), постоянен на (2, 4) и (9, 10), убывает на (4, 7). Промежутки записывают значениями аргумента, то есть времени, а не высоты. Наибольшее значение 60 держится от часа 2 до часа 4; наименьшее 0 достигается при t = 7. В точке перехода от возрастания к убыванию находится локальный максимум, от убывания к возрастанию локальный минимум.
20 литров в час прибывает, 20 литров в час убывает
Как быстро поступала вода? Средняя скорость изменения функции от a до b равна изменению значения, делённому на изменение аргумента: (f(b) − f(a)) / (b − a). От часа 0 до часа 2 она равна (60 − 20)/(2 − 0) = 20 литров в час. От часа 4 до часа 7 получаем (0 − 60)/(7 − 4) = −20 литров в час: минус означает, что вода убывала. На графике это угловой коэффициент прямой через две точки. У линейной функции скорость изменения везде одинакова, а у кривой средние скорости на разных промежутках различаются.
В лаборатории передвигай указатель по графику, чтобы читать W(t) в любой момент. Включи «Решить f(x) = c» и перемещай горизонтальную прямую вверх и вниз. Фиолетовые отметки показывают все решения W(t) = c. При c = 60 или c = 30 получится целый промежуток решений, а не отдельные точки: там график горизонтален.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
- Чему равно W(1) в литрах по графику бочки?
- Чему равно W(5) в литрах?
- Какой наибольший объём воды был в бочке, в литрах?
- На каком промежутке W постоянно и принимает наибольшее значение?
- (2, 4)
- (0, 2)
- (4, 7)
- (9, 10)
- На каком промежутке W убывает?
- (4, 7)
- (2, 4)
- (7, 9)
- (0, 2)
- Сколько решений у уравнения W(t) = 40?
- Какова средняя скорость изменения от t = 0 до t = 2 в литрах в час?
- Какова средняя скорость изменения от t = 4 до t = 7?
- В какой момент t бочка была пустой?
- Чему равно W(8) в литрах?
- Утверждать, что W возрастает на (20, 60). 20 и 60 обозначают высоту. Промежутки задаются временем на горизонтальной оси, поэтому ответ: (0, 2).
- Вычислять скорость от t = 2 до t = 7 как (7 − 2)/(0 − 60) = −1/12. Изменение значения функции ставится в числителе: (0 − 60)/(7 − 2) = −12 литров в час.
- Для W(t) = 30 указывать только t = 9. Проведи всю прямую на уровне 30. Она пересекает график при t = 0.5 во время наполнения и при t = 5.5 во время опорожнения, а от 9 до 10 совпадает с ним. Значит, подходит и любое t от 9 до 10.
- f(a): поднимись от a на оси x, затем двигайся вбок, чтобы прочитать высоту.
- f(x) = c: проведи горизонтальную прямую на уровне c и найди все x в точках пересечения с графиком.
- Промежутки возрастания, убывания и постоянства записывают через значения x.
- Средняя скорость изменения: (f(b) − f(a)) / (b − a), угловой коэффициент прямой через две точки.
Источники курса (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Проверено: 2026-10-18