edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Алгебра›Функции

Область определения и область значений

При x = −3 у f(x) = √(x + 2) нет действительного значения: −3 + 2 = −1, а у отрицательного числа нет действительного квадратного корня. Область определения начинается с −2.

Что получится, если подставить −3 в √(x + 2)?

Кажется, что в формулу можно подставить любое число. Проверим: возьмём x = −3 в f(x) = √(x + 2). Под корнем получим −3 + 2 = −1, а квадрат действительного числа не может равняться −1. Значения нет. Значит, сама формула исключает некоторые аргументы. У множества допустимых аргументов есть своё название.

Область определения: что подставляем; область значений: что получаем

Область определения функции состоит из допустимых аргументов, а область значений из всех результатов, которые она может дать. Для списка пар их легко выписать. OpenStax приводит функцию {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}. Её область определения {2, 3, 4, 5, 6}, область значений {10, 20, 30, 40}. Значение 10 встречается дважды, но в множестве его записывают один раз. Для формулы обычно берут все действительные числа, при которых не нарушаются правила вычислений.

Два правила для большинства областей определения

Для действительных чисел важно помнить два запрета: нельзя делить на 0 и извлекать корень чётной степени, например квадратный, из отрицательного числа. OpenStax предлагает короткую проверку. Если в формуле нет знаменателя и корня чётной степени, область определения, скорее всего, состоит из всех действительных чисел. Если есть знаменатель, исключи все x, обращающие его в 0. Если есть корень чётной степени, оставь только x, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Прикладные задачи добавляют ограничения: например, число билетов не бывает отрицательным.

Разберём примеры. У f(x) = 1/(x − 1) знаменатель равен 0 при x = 1, поэтому допустимы все действительные числа, кроме 1. Для f(x) = √(x + 2) нужно x + 2 ≥ 0, значит x ≥ −2. Для f(x) = √(6 − x) нужно 6 − x ≥ 0, значит x ≤ 6. У f(x) = x² − 4 ограничений нет: допустимы все действительные числа. Но область значений не охватывает их все, поскольку x² неотрицателен и x² − 4 не бывает меньше −4.

Квадратная скобка включает границу, круглая исключает

Области определения и значений часто являются целыми участками числовой прямой. Запись промежутков позволяет обозначать их кратко: сначала меньшая граница, затем запятая и большая. Квадратная скобка [ или ] включает границу, круглая ( или ) исключает её. Бесконечность не число, которое можно достичь, поэтому возле неё всегда круглая скобка. Пример OpenStax: имея $100, можно потратить больше 0, но не больше 100, то есть (0, 100]. Область определения √(x + 2) равна [−2, ∞), а у 1/(x − 1) это (−∞, 1) ∪ (1, ∞), где ∪ объединяет два промежутка.

СловамиНеравенствоПромежуток
x не меньше −2x ≥ −2[−2, ∞)
x не больше 6x ≤ 6(−∞, 6]
x больше 0, но не больше 1000 < x ≤ 100(0, 100]
все действительные числа, кроме 1x ≠ 1(−∞, 1) ∪ (1, ∞)
все действительные числа(−∞, ∞)

Область определения и область значений как проекции на оси

На графике область определения можно представить как тень кривой на оси x, а область значений как тень на оси y. Спроецируй график на каждую ось и посмотри, что он покрывает. В лаборатории зелёная полоса на оси x показывает область определения, оранжевая на оси y область значений. Закрашенная точка означает, что граница включена, пустая точка исключает её. Такова пустая точка при x = 1 для 1/(x − 1). Передвинь ползунок x в запрещённую область: панель объяснит, какое правило нарушено.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

f(x) = √(x + 2): область определения [−2, ∞), область значений [0, ∞). Выбери другую функцию, например 1/(x − 1), и попробуй аргумент x = 1.
  1. Какова область определения f(x) = √(x + 2)?
    • [−2, ∞)
    • (−2, ∞)
    • [2, ∞)
    • (−∞, ∞)
  2. Какова область определения f(x) = 1/(x − 1)?
    • (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
    • (1, ∞)
    • [1, ∞)
    • (−∞, ∞)
  3. Какова область значений f(x) = x² − 4?
    • [−4, ∞)
    • (−∞, ∞)
    • [4, ∞)
    • (−4, ∞)
  4. Какое наименьшее число входит в область определения f(x) = √(x − 5)?
  5. Какой аргумент нужно исключить из области определения f(x) = 1/(x + 3)?
  6. Как записать промежутком «больше 0, но не больше 100»?
    • (0, 100]
    • [0, 100)
    • [0, 100]
    • (0, 100)
  7. Какова область определения {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}?
    • {2, 3, 4, 5, 6}
    • {10, 20, 30, 40}
    • {2, 10}
    • {2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 30, 40}
  8. Какова область значений того же множества пар?
    • {10, 20, 30, 40}
    • {10, 10, 20, 30, 40}
    • {2, 3, 4, 5, 6}
    • [10, 40]
  9. Какова область значений f(x) = 3 − |x|?
    • (−∞, 3]
    • [3, ∞)
    • (−∞, 3)
    • (−∞, ∞)
  10. Какова область определения f(x) = x³?
    • (−∞, ∞)
    • [0, ∞)
    • (0, ∞)
    • (−∞, 0]
Частые ошибки
  • Указать {4, 9} как область определения {(1, 4), (2, 4), (3, 9)}. Это область значений. Область определения состоит из первых чисел: {1, 2, 3}. Прежде чем писать ответ, скажи, какие числа подставляют.
  • Сказать, что область значений f(x) = x² + 1 равна (−∞, ∞), потому что такова область определения. Это разные вопросы. x² ≥ 0, поэтому x² + 1 ≥ 1, причём 1 достигается при x = 0. Область значений [1, ∞).
  • Записать область определения √(x − 3) как (3, ∞). При x = 3 получаем √0 = 0, действительное число. Поэтому 3 включено: [3, ∞). Нуль под квадратным корнем допустим, в знаменателе нет.
Заметка для учителяНовичку легко спутать область определения и область значений: обе являются множествами. Ещё до формул свяжи каждое название с направлением и осью: аргумент входит, ось x; значение выходит, ось y. При работе с формулой сначала записывай условие, например x − 1 ≠ 0 или x + 2 ≥ 0, и лишь затем промежуток. Если сразу перейти к скобкам, легко потерять граничную точку.
Главное
  • Область определения: допустимые аргументы. Область значений: возможные результаты.
  • Исключай аргументы, при которых возникает деление на 0 или корень чётной степени из отрицательного числа.
  • Запись промежутков: [ ] включает границу, ( ) исключает её, возле ∞ всегда ставят ( ).
  • На графике области определения и значений видны как проекции на две оси.
Источники курса (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

Проверено: 2026-10-18