Что такое функция
Каждому числу от 1 до 5 поставим в соответствие его удвоенное значение. Получим пять пар, от (1, 2) до (5, 10). Каждому аргументу соответствует ровно одно значение, поэтому это функция.
Автомат, в котором каждая кнопка выдаёт один напиток
Представь вымышленный автомат возле школьной столовой. Нажимаешь кнопку 1 и получаешь банку сидра. Кнопка 2 выдаёт апельсиновый сок. Кнопка 3 тоже выдаёт сидр: разным кнопкам разрешено выдавать одинаковый напиток. А теперь пусть кнопка 1 в понедельник выдаёт сидр, а во вторник воду, хотя ничего другого не изменилось. Тогда уже нельзя однозначно сказать, что она делает. Именно здесь проходит граница: у функции каждому аргументу, то есть кнопке, соответствует ровно одно значение, то есть напиток.
Упорядоченные пары: сначала аргумент, затем значение
Многие величины зависят от других. Вес ребёнка меняется с возрастом, высота самолёта зависит от пройденного расстояния. OpenStax начинает с отношения: это просто множество упорядоченных пар. В парах (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) и (5, 10) первые числа являются аргументами, а вторые значениями. Множество аргументов {1, 2, 3, 4, 5} называют областью определения, а множество значений {2, 4, 6, 8, 10} областью значений. Аргумент также называют независимой переменной, обычно x, а значение зависимой переменной, обычно y.
Функция является отношением, в котором каждому аргументу соответствует ровно одно значение. Удвоение подходит: 3 переходит в 6 и ни во что другое. Теперь сопоставим словам «нечётное» и «чётное» числа от 1 до 5: (нечётное, 1), (чётное, 2), (нечётное, 3), (чётное, 4), (нечётное, 5). Аргументу «нечётное» соответствуют три значения: 1, 3 и 5. Это не функция. Но два разных аргумента могут давать одно значение: в прейскуранте два напитка могут стоить одинаково, и цена всё равно остаётся функцией товара.
f(4) означает: подставь 4 вместо x
Функции обозначают буквами, а f(x) читают «эф от икс»: это значение функции f при аргументе x, а не произведение f на x. Если f(x) = 3x − 2, то f(4) означает заменить x на 4 и вычислить: 3 × 4 − 2 = 10. Точка (4, 10) лежит на графике f. Можно двигаться и в обратную сторону: чтобы найти аргумент, при котором f(x) = 13, реши 3x − 2 = 13. Получится x = 5. Представь функцию как устройство с написанным на боку правилом: число поступает внутрь, правило его обрабатывает, и выходит одно число.
Вертикальная прямая пересекает окружность дважды
На графике аргумент задаёт положение на оси x, а значения соответствуют высотам графика над ним или под ним. Поэтому удобно провести по рисунку вертикальную прямую. Если хотя бы где-то она пересекает график более одного раза, одному x соответствуют несколько значений, и это не график функции. Парабола проходит проверку, а окружность нет: прямая через её середину пересекает её сверху и снизу. Лежащая на боку парабола x = y² − 2 тоже не проходит проверку.
Проверка горизонтальной прямой отвечает на другой вопрос. Если любая горизонтальная прямая пересекает график функции не более одного раза, каждому значению соответствует единственный аргумент. Такая функция называется взаимно однозначной. Прямая y = 2x − 1 подходит, а y = x² − 3 нет: 1 и −1 дают −2. Именно взаимно однозначные функции можно обратить, что понадобится в последнем разделе. В лаборатории выбери кривую, передвигай вертикальную прямую и включи проверку горизонтальной прямой.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
- Является ли {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} функцией?
- Да
- Нет
- Является ли {(нечётное, 1), (чётное, 2), (нечётное, 3)} функцией?
- Нет
- Да
- Если f(x) = 3x − 2, чему равно f(4)?
- Если f(x) = x² + 1, чему равно f(−3)?
- Какой график не проходит проверку вертикальной прямой?
- x² + y² = 16
- y = x² − 3
- y = 2x − 1
- y = |x| − 2
- Является ли y функцией от x при x = y²?
- Нет
- Да
- Если f(x) = 2x + 5, при каком x получим f(x) = 11?
- Если f(x) = x², чему равно f(2) + f(3)?
- Какая функция взаимно однозначна?
- y = 2x − 1
- y = x² − 3
- y = |x| − 2
- y = 5
- В какой книге 1748 года Эйлер сделал понятие функции центральным?
- Introductio in analysin infinitorum
- La Géométrie
- Ars Magna
- Liber embadorum
| Функция | Отношение, в котором каждому аргументу соответствует ровно одно значение |
| Область определения | Множество аргументов |
| Область значений | Множество значений функции |
| Проверка вертикальной прямой | Есть два пересечения хотя бы где-то: это не функция |
| Взаимно однозначная функция | Каждому значению соответствует единственный аргумент |
- Прочитать f(0) как f × 0 = 0 для f(x) = 3x − 2. f(0) обозначает значение при аргументе 0: 3 × 0 − 2 = −2. Умножения на f здесь нет.
- Решить, что {(1, 5), (2, 5), (3, 7)} не функция, потому что 5 повторяется. Это функция. Запрещены только два значения у одного аргумента. Аргументы 1 и 2 могут оба давать 5, как две кнопки автомата, выдающие один и тот же сидр.
- Записать f(2 + 1) = f(2) + f(1) для f(x) = x². Сначала вычисли аргумент. f(3) = 9, но f(2) + f(1) = 4 + 1 = 5.
- Назвать y = x² − 3 «не функцией», потому что горизонтальная прямая пересекает график дважды. Горизонтальная прямая проверяет взаимную однозначность, а не то, является ли зависимость функцией. Каждая вертикальная прямая пересекает y = x² − 3 один раз, поэтому это функция. Просто она не взаимно однозначна.
- Функция ставит каждому аргументу в соответствие ровно одно значение.
- f(x) обозначает значение при аргументе x, а не произведение f на x.
- Вертикальная прямая: два пересечения означают, что это не функция.
- Горизонтальная прямая: не более одного пересечения означает взаимную однозначность.
Источники курса (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Проверено: 2026-10-18