O que é uma função
Associar cada número de 1 a 5 ao seu dobro dá cinco pares, de (1, 2) a (5, 10). Como cada entrada tem exatamente uma saída, essa associação é uma função.
Uma máquina de bebidas em que cada botão libera uma bebida
Imagine uma máquina de bebidas perto da cantina de uma escola. Este exemplo é fictício. O botão 1 libera uma lata de sidra. O botão 2 dá suco de laranja. O botão 3 também dá sidra, sem problema: dois botões podem oferecer a mesma bebida. Agora imagine que o botão 1 dê sidra na segunda-feira e água na terça, sem nenhuma outra mudança. Já não seria possível dizer o que ele faz. É esse limite que define uma função. Cada entrada, aqui um botão, precisa levar a exatamente uma saída, aqui uma bebida.
Pares ordenados: primeiro a entrada, depois a saída
Muitas grandezas dependem de outras. O peso de uma criança muda com a idade; a altitude de um avião muda com a distância percorrida. O OpenStax começa pela ideia de relação, que é um conjunto de pares ordenados. Nos pares (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8) e (5, 10), os primeiros números são as entradas e os segundos, as saídas. O conjunto de entradas, {1, 2, 3, 4, 5}, é o domínio, e o de saídas, {2, 4, 6, 8, 10}, é a imagem. As entradas também são chamadas de variável independente, geralmente x, e as saídas, de variável dependente, geralmente y.
Uma função é uma relação em que cada entrada leva a exatamente uma saída. A relação do dobro atende à definição: 3 leva a 6 e a nenhum outro valor. Agora associe as palavras ímpar e par aos números de 1 a 5: (ímpar, 1), (par, 2), (ímpar, 3), (par, 4), (ímpar, 5). A entrada ímpar leva a três saídas diferentes, 1, 3 e 5, portanto essa relação não é uma função. Note o que a regra não proíbe. Duas entradas podem ter a mesma saída: em uma tabela de preços, duas bebidas podem custar o mesmo, e o preço continua sendo função do produto.
f(4) significa: substitua x por 4
Damos nomes às funções usando letras e escrevemos f(x), lido como “f de x”, para indicar a saída de f na entrada x. Isso não significa f vezes x. Se f(x) = 3x − 2, então f(4) pede que você substitua x por 4 e calcule: 3 × 4 − 2 = 10. O par (4, 10) está no gráfico de f. Também é possível fazer o caminho inverso: para descobrir qual entrada dá f(x) = 13, resolva 3x − 2 = 13, obtendo x = 5. Pense na função como uma máquina com uma regra escrita na lateral. Um número entra, a regra é aplicada e um número sai.
Uma reta vertical que atravessa um círculo o encontra duas vezes
Em um gráfico, a entrada é uma posição no eixo x, e suas saídas são as alturas do gráfico acima ou abaixo dela. Um teste rápido é passar uma reta vertical pela figura. Se alguma reta vertical cruzar o gráfico mais de uma vez, esse x terá mais de uma saída, e o gráfico não representará uma função. Uma parábola passa no teste; um círculo não, pois uma reta vertical pelo centro o encontra em cima e embaixo. O gráfico de x = y² − 2, uma parábola deitada, também não passa.
Um segundo teste, com uma reta horizontal, responde a outra pergunta. Se toda reta horizontal cruzar o gráfico de uma função no máximo uma vez, cada saída virá de uma única entrada, e a função será chamada de injetora. A reta y = 2x − 1 é injetora; y = x² − 3 não é, pois 1 e −1 dão −2. As funções injetoras importam na última unidade, porque são justamente as que permitem fazer o caminho inverso. No laboratório, escolha uma curva, arraste a reta vertical e ative o teste da reta horizontal.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
- {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} é uma função?
- Sim
- Não
- {(ímpar, 1), (par, 2), (ímpar, 3)} é uma função?
- Não
- Sim
- Se f(x) = 3x − 2, quanto vale f(4)?
- Se f(x) = x² + 1, quanto vale f(−3)?
- Qual gráfico não passa no teste da reta vertical?
- x² + y² = 16
- y = x² − 3
- y = 2x − 1
- y = |x| − 2
- Na relação x = y², y é função de x?
- Não
- Sim
- Se f(x) = 2x + 5, qual x dá f(x) = 11?
- Se f(x) = x², quanto vale f(2) + f(3)?
- Qual função é injetora?
- y = 2x − 1
- y = x² − 3
- y = |x| − 2
- y = 5
- Em qual livro Euler deu destaque ao conceito de função, em 1748?
- Introductio in analysin infinitorum
- La Géométrie
- Ars Magna
- Liber embadorum
| Função | Relação em que cada entrada tem exatamente uma saída |
| Domínio | O conjunto das entradas |
| Imagem | O conjunto das saídas |
| Teste da reta vertical | Se cruzar duas vezes em algum lugar, não é função |
| Injetora | Cada saída vem de uma única entrada |
- Ler f(0) como f × 0 = 0 para f(x) = 3x − 2. f(0) é a saída quando entra 0: 3 × 0 − 2 = −2. Não há multiplicação por f.
- Concluir que {(1, 5), (2, 5), (3, 7)} não é função porque 5 aparece duas vezes. É uma função. A regra só proíbe uma entrada com duas saídas. As entradas 1 e 2 podem levar a 5, como dois botões da máquina que dão a mesma sidra.
- Escrever f(2 + 1) = f(2) + f(1) para f(x) = x². Calcule primeiro a entrada. f(3) = 9, mas f(2) + f(1) = 4 + 1 = 5.
- Dizer que y = x² − 3 “não é função” porque uma reta horizontal a encontra duas vezes. O teste da reta horizontal verifica se a função é injetora, não se é função. Toda reta vertical encontra y = x² − 3 uma vez, portanto é uma função. Apenas não é injetora.
- Uma função dá exatamente uma saída para cada entrada.
- f(x) é a saída em x; não é f vezes x.
- Teste da reta vertical: cruzar duas vezes significa que não é função.
- Teste da reta horizontal: cruzar no máximo uma vez significa que é injetora.
Fontes deste curso (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Data de verificação: 2026-10-18