Domínio e imagem

f(x) = √(x + 2) não tem saída real em x = −3, pois −3 + 2 = −1 e um número negativo não tem raiz quadrada real. Seu domínio começa em −2.

O que sai quando −3 entra em √(x + 2)?

É tentador pensar que uma fórmula aceita qualquer número. Teste uma: substitua x = −3 em f(x) = √(x + 2). Dentro da raiz, aparece −3 + 2 = −1, e nenhum número real ao quadrado dá −1. Não há saída. Assim, a própria fórmula exclui algumas entradas, e as que ela aceita formam um conjunto com nome próprio.

Domínio é o que entra; imagem é o que sai

O domínio de uma função é o conjunto de entradas que ela aceita, e a imagem é o conjunto de saídas que ela pode produzir. Em uma lista de pares, basta identificar esses valores. O OpenStax apresenta a função {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: seu domínio é {2, 3, 4, 5, 6}, e sua imagem é {10, 20, 30, 40}. O valor 10 aparece duas vezes como saída, mas é listado uma só vez na imagem. Para uma fórmula, o domínio costuma conter todos os números reais que não violam alguma regra da aritmética.

Duas regras determinam a maioria dos domínios

Nos números reais, observe duas regras. Não se pode dividir por 0 nem extrair uma raiz de índice par, como a raiz quadrada, de um número negativo. O OpenStax transforma isso em uma verificação curta. Se a fórmula não tem denominador nem raiz de índice par, provavelmente o domínio é o conjunto dos reais. Se tem denominador, exclua todo x que o torna 0. Se tem raiz de índice par, mantenha apenas os x que tornam a expressão dentro da raiz nula ou positiva. Situações reais impõem outros limites: o número de ingressos não pode ser negativo.

Os exemplos ajudam. Em f(x) = 1/(x − 1), o denominador é 0 em x = 1, então o domínio contém todos os reais, exceto 1. Em f(x) = √(x + 2), precisamos de x + 2 ≥ 0, logo x ≥ −2. Em f(x) = √(6 − x), precisamos de 6 − x ≥ 0, logo x ≤ 6. Em f(x) = x² − 4, não há restrição, e o domínio é o conjunto dos reais; a imagem, porém, não contém todos eles, porque x² nunca é negativo e x² − 4 nunca fica abaixo de −4.

Colchetes incluem a extremidade; parênteses a excluem

Domínios e imagens muitas vezes são trechos inteiros da reta numérica, escritos de forma compacta com intervalos. A extremidade menor vem primeiro, depois uma vírgula e a maior. Um colchete [ ou ] inclui a extremidade; um parêntese ( ou ) a exclui. O infinito não é um número que se possa atingir, por isso sempre recebe parêntese. No exemplo do OpenStax, se você tem $100 para gastar, pode gastar mais que 0 e no máximo 100, o que se escreve (0, 100]. O domínio de √(x + 2) é [−2, ∞), e o de 1/(x − 1) é (−∞, 1) ∪ (1, ∞), em que ∪ une dois trechos.

Domínio e imagem como projeções nos dois eixos

Em um gráfico, o domínio é a projeção da curva no eixo x, e a imagem é sua projeção no eixo y. Imagine achatar o gráfico contra cada eixo para ver a parte coberta. No laboratório, a barra verde no eixo x é o domínio, e a laranja no eixo y é a imagem. Um ponto preenchido na extremidade indica que ela pertence ao conjunto; um ponto aberto indica que não pertence, como o círculo aberto em x = 1 para 1/(x − 1). Leve o controle de x a uma região proibida, e o painel informará qual regra a entrada viola.