Dominio e insieme dei valori

f(x) = √(x + 2) non ha un'uscita reale per x = −3, perché −3 + 2 = −1 e un numero negativo non ha radice quadrata reale. Il dominio parte da −2.

Che cosa esce inserendo −3 in √(x + 2)?

Si potrebbe pensare che una formula accetti qualsiasi numero. Prova: sostituisci x = −3 in f(x) = √(x + 2). Sotto radice ottieni −3 + 2 = −1, e nessun numero reale elevato al quadrato dà −1. Non esce nulla. La formula esclude quindi alcuni ingressi, mentre quelli accettati formano un insieme con un nome preciso.

Il dominio è ciò che entra, l'insieme dei valori ciò che esce

Il dominio di una funzione è l'insieme degli ingressi accettati; l'insieme dei valori comprende le uscite che può produrre. In un elenco di coppie basta leggerli. OpenStax propone {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: il dominio è {2, 3, 4, 5, 6} e l'insieme dei valori è {10, 20, 30, 40}. Il valore 10 compare due volte come uscita, ma si elenca una sola volta nell'insieme dei valori. Per una formula, il dominio comprende di solito tutti i numeri reali che non violano una regola aritmetica.

Due regole determinano la maggior parte dei domini

Nei numeri reali ci sono due regole da controllare: non si può dividere per 0 né estrarre una radice di indice pari, come la radice quadrata, di un numero negativo. OpenStax suggerisce un controllo rapido. Senza denominatori né radici di indice pari, il dominio è probabilmente tutto l'insieme dei reali. Se c'è un denominatore, escludi ogni x che lo annulla. Se c'è una radice di indice pari, tieni solo le x che rendono il radicando nullo o positivo. I problemi concreti aggiungono altri vincoli: il numero di biglietti non può essere negativo.

Ecco alcuni esempi. Per f(x) = 1/(x − 1), il denominatore è 0 quando x = 1, quindi il dominio comprende tutti i reali tranne 1. Per f(x) = √(x + 2) serve x + 2 ≥ 0, dunque x ≥ −2. Per f(x) = √(6 − x) serve 6 − x ≥ 0, quindi x ≤ 6. Per f(x) = x² − 4 non c'è nulla da escludere e il dominio è tutto l'insieme dei reali; le uscite, però, non sono tutte possibili, perché x² non è mai negativo e x² − 4 non scende mai sotto −4.

Le parentesi quadre includono un estremo, le tonde lo escludono

Domini e insiemi dei valori sono spesso interi tratti della retta numerica, che la notazione per intervalli esprime in modo compatto. Si scrive prima l'estremo minore, poi una virgola, poi quello maggiore. Una parentesi quadra [ o ] include l'estremo; una tonda ( o ) lo esclude. L'infinito non è un numero raggiungibile, quindi richiede sempre una parentesi tonda. Nell'esempio di OpenStax, se hai $100 da spendere, la somma spendibile è maggiore di 0 e al massimo 100, cioè (0, 100]. Il dominio di √(x + 2) è [−2, ∞), quello di 1/(x − 1) è (−∞, 1) ∪ (1, ∞), dove ∪ unisce due parti.

Dominio e insieme dei valori come ombre sui due assi

In un grafico, il dominio è l'ombra della curva sull'asse x e l'insieme dei valori è la sua ombra sull'asse y. Schiaccia idealmente il grafico su ciascun asse e osserva quale tratto copre. Nel laboratorio la barra verde sull'asse x è il dominio e quella arancione sull'asse y è l'insieme dei valori. Un punto pieno include l'estremo, uno vuoto lo esclude, come il cerchietto in x = 1 per 1/(x − 1). Sposta il cursore x in una zona vietata: il pannello indica quale regola viene violata.