Ensemble de définition et ensemble image

f(x) = √(x + 2) n'a pas de sortie réelle pour x = −3, car −3 + 2 = −1 et un nombre négatif n'a pas de racine carrée réelle. Son ensemble de définition commence à −2.

Que sort-il quand on entre −3 dans √(x + 2) ?

On pourrait croire qu'une formule accepte n'importe quel nombre. Essaie : remplace x par −3 dans f(x) = √(x + 2). Sous la racine, tu obtiens −3 + 2 = −1, et aucun réel au carré ne vaut −1. Rien ne sort. La formule exclut donc certaines entrées ; celles qu'elle accepte forment un ensemble qui porte un nom.

Les entrées définissent le domaine, les sorties l'ensemble image

L'ensemble de définition d'une fonction contient les entrées qu'elle accepte, et son ensemble image les sorties qu'elle peut produire. Pour une liste de couples, il suffit de les relever. OpenStax donne {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)} : l'ensemble de définition est {2, 3, 4, 5, 6} et l'ensemble image {10, 20, 30, 40}. La sortie 10 apparaît deux fois, mais on ne l'écrit qu'une fois dans l'ensemble image. Pour une formule, l'ensemble de définition comprend généralement tous les réels qui respectent les règles du calcul.

Deux règles suffisent pour la plupart des domaines

Dans les réels, surveille deux règles : on ne peut ni diviser par 0, ni prendre une racine d'ordre pair, comme une racine carrée, d'un nombre négatif. OpenStax propose une vérification simple. Sans dénominateur ni racine d'ordre pair, l'ensemble de définition est probablement l'ensemble des réels. S'il y a un dénominateur, exclus chaque x qui l'annule. S'il y a une racine d'ordre pair, conserve les x pour lesquels l'expression sous la racine est positive ou nulle. Les situations concrètes imposent aussi leurs limites : un nombre de billets ne peut pas être négatif.

Quelques exemples : pour f(x) = 1/(x − 1), le dénominateur s'annule en x = 1, donc tous les réels sauf 1 sont admis. Pour f(x) = √(x + 2), il faut x + 2 ≥ 0, donc x ≥ −2. Pour f(x) = √(6 − x), il faut 6 − x ≥ 0, donc x ≤ 6. Pour f(x) = x² − 4, rien n'est interdit : tout réel convient. Mais l'ensemble image ne contient pas tous les réels, car x² n'est jamais négatif, et x² − 4 ne descend jamais sous −4.

Un crochet inclut la borne, une parenthèse l'exclut

Les ensembles de définition et les ensembles images couvrent souvent des portions entières de la droite numérique ; la notation par intervalles les écrit de façon compacte. La plus petite borne vient d'abord, puis une virgule, puis la plus grande. Un crochet [ ou ] signifie que la borne est incluse ; une parenthèse ( ou ) qu'elle est exclue. L'infini n'est pas un nombre qu'on peut atteindre : on lui associe toujours une parenthèse. Exemple d'OpenStax : avec un budget de 100 $, le montant dépensé peut être supérieur à 0 et inférieur ou égal à 100, soit (0, 100]. Le domaine de √(x + 2) est [−2, ∞), et celui de 1/(x − 1) est (−∞, 1) ∪ (1, ∞), où ∪ réunit les deux parties.

Les projections de la courbe sur les deux axes

Sur un graphique, l'ensemble de définition est la projection de la courbe sur l'axe des abscisses, et l'ensemble image sa projection sur l'axe des ordonnées. Imagine que tu aplatis la courbe sur chaque axe et regarde ce qui est couvert. Dans le laboratoire, la barre verte sur l'axe des abscisses montre le domaine et la barre orange sur l'axe des ordonnées l'ensemble image. Un point plein à une extrémité inclut la borne ; un point vide l'exclut, comme le cercle vide en x = 1 pour 1/(x − 1). Déplace le curseur x dans une zone interdite : le panneau indique quelle règle cette entrée enfreint.