Dominio y rango

f(x) = √(x + 2) no tiene una salida real en x = −3, porque −3 + 2 = −1 y un número negativo no tiene raíz cuadrada real. Su dominio empieza en −2.

¿Qué sale al introducir −3 en √(x + 2)?

Es tentador pensar que una fórmula acepta cualquier número. Haz la prueba. Sustituye x = −3 en f(x) = √(x + 2). Bajo la raíz obtienes −3 + 2 = −1, y ningún número real al cuadrado da −1. No sale nada. La propia fórmula descarta algunas entradas, y las que sí acepta forman un conjunto con nombre propio.

El dominio es lo que entra; el rango, lo que sale

El dominio de una función es el conjunto de entradas que acepta, y el rango es el conjunto de salidas que puede producir. En una lista de pares basta con leerlos. OpenStax presenta la función {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: su dominio es {2, 3, 4, 5, 6} y su rango es {10, 20, 30, 40}. El valor 10 aparece dos veces como salida, pero solo se escribe una vez en el rango. En una fórmula, el dominio suele incluir todos los números reales que no infringen ninguna regla aritmética.

Dos reglas determinan la mayoría de los dominios

Con los números reales hay que vigilar dos reglas. No se puede dividir entre 0 ni calcular una raíz de índice par, como la raíz cuadrada, de un número negativo. OpenStax lo convierte en una comprobación breve. Si la fórmula no tiene denominador ni raíz de índice par, probablemente su dominio sean todos los números reales. Si tiene denominador, excluye todos los valores de x que lo hagan 0. Si tiene una raíz de índice par, conserva solo los valores de x que hagan que la expresión bajo la raíz sea cero o positiva. Las situaciones reales añaden sus propios límites: una cantidad de boletos no puede ser negativa.

Veamos ejemplos concretos. En f(x) = 1/(x − 1), el denominador es 0 cuando x = 1, así que el dominio son todos los números reales excepto 1. En f(x) = √(x + 2), necesitamos x + 2 ≥ 0, es decir, x ≥ −2. En f(x) = √(6 − x), necesitamos 6 − x ≥ 0, es decir, x ≤ 6. En f(x) = x² − 4 no hay nada que evitar y el dominio son todos los números reales; sin embargo, su rango no lo abarca todo, porque x² nunca es negativo y, por tanto, x² − 4 nunca es menor que −4.

Los corchetes incluyen el extremo; los paréntesis lo excluyen

Los dominios y los rangos suelen ser tramos completos de la recta numérica, y la notación de intervalos permite escribirlos de forma compacta. Primero se escribe el extremo menor, después una coma y luego el mayor. Un corchete [ o ] indica que el extremo está incluido; un paréntesis ( o ) indica que está excluido. El infinito no es un número al que puedas llegar, así que siempre lleva paréntesis. Un ejemplo de OpenStax: si tienes $100 para gastar, puedes gastar más de 0 y como máximo 100, lo que se escribe (0, 100]. El dominio de √(x + 2) es [−2, ∞), y el de 1/(x − 1) es (−∞, 1) ∪ (1, ∞), donde ∪ une los dos tramos.

Dominio y rango como sombras sobre los dos ejes

En una gráfica, el dominio es la sombra que proyecta la curva sobre el eje x, y el rango es su sombra sobre el eje y. Aplana la gráfica sobre cada eje y observa qué parte cubre. En el laboratorio, la barra verde del eje x es el dominio y la barra naranja del eje y es el rango. Un punto lleno en un extremo significa que ese extremo pertenece al conjunto; uno vacío significa que no pertenece, como el círculo vacío que ves en x = 1 para 1/(x − 1). Mueve el control de x hasta una región prohibida y el panel te indicará qué regla infringe la entrada.