Transformaciones de gráficas

La gráfica de y = (x − 3)² + 1 es la de y = x² desplazada 3 unidades a la derecha y 1 hacia arriba. El vértice pasa de (0, 0) a (3, 1).

Antes de comprobarlo: ¿x − 3 mueve la curva a la izquierda o a la derecha?

Empieza en el laboratorio antes de ver las reglas. Se abre con g(x) = (x − 3)² + 1, dibujada sobre la función base y = x² en trazos discontinuos. Antes de mirar con atención, haz una predicción: ¿x − 3 desplaza la curva a la izquierda o a la derecha? Busca ahora el punto rojo de referencia. Está en (3, 1). A la derecha, entonces. Pon k en −2 y toda la curva baja. Pon a en −2 y se invierte y se estrecha. Recuerda esa primera sorpresa, un signo menos que desplazó la gráfica a la derecha, porque el resto de la unidad la explica.

Cuatro gráficas base que conviene reconocer por su forma

Vale la pena reconocer unas cuantas gráficas básicas por su forma: y = x², la parábola; y = |x|, una V con vértice en el origen; y = √x, la mitad de una parábola de lado que empieza en el origen; e y = x³, que sube atravesando el origen y se aplana allí un instante. OpenStax las llama funciones básicas. La mayoría de las gráficas que encontrarás son una de estas desplazada, reflejada o estirada, y cuatro reglas describen todos esos cambios. Si conoces la función base y las reglas, puedes esbozar la nueva gráfica en segundos sin una tabla.

Suma 20 por fuera y la gráfica de las aberturas del techo sube 20

Sumar una constante fuera de la función desplaza la gráfica hacia arriba o hacia abajo. Si g(x) = f(x) + k, cada salida aumenta en k, así que la gráfica sube k unidades cuando k > 0 y baja cuando k < 0. OpenStax da un ejemplo de un edificio ecológico cuyas aberturas de ventilación del techo se abren y cierran durante el día: si V(t) es el área de las aberturas abiertas, en pies cuadrados, t horas después de la medianoche, y la persona encargada abre 20 pies cuadrados más durante todo el día y la noche, la nueva función es S(t) = V(t) + 20, la misma gráfica elevada 20. Solo cambian las salidas; las entradas siguen iguales.

Por qué x − 3 desplaza la gráfica a la derecha, no a la izquierda

Cambiar la entrada desplaza la gráfica horizontalmente, y aquí la dirección suele sorprender. La gráfica de g(x) = f(x − h) es la de f desplazada h unidades a la derecha. Para entenderlo, pregunta dónde obtiene g la salida que f tenía en 0: g(x) = f(0) cuando x − h = 0, es decir, en x = h. Todo ocurre h unidades después. Así, (x − 3)² se desplaza 3 a la derecha, y |x + 2| = |x − (−2)| se desplaza 2 a la izquierda. Un signo menos dentro de los paréntesis significa derecha; un signo más, izquierda.

Un signo menos por fuera invierte arriba y abajo; por dentro, izquierda y derecha

Un signo menos delante, g(x) = −f(x), cambia el signo de cada salida, de modo que la gráfica se refleja respecto al eje x: −√x queda bajo el eje en vez de subir por encima. Un signo menos en la entrada, g(x) = f(−x), refleja la gráfica respecto al eje y: √(−x) empieza en el origen y va hacia la izquierda. Multiplicar las salidas por un número positivo a estira la gráfica verticalmente cuando a > 1 y la comprime cuando 0 < a < 1, así que 2|x| es una V más empinada y (1/2)x² es una parábola más ancha.

Sigue un punto y el resto de la gráfica lo acompaña

Para g(x) = a f(x − h) + k, una forma fiable de esbozar la gráfica es seguir algunos puntos de la función base. Un punto (x, y) de f pasa a (x + h, a·y + k) en g. El punto (4, 2) está en y = √x, así que en y = √(x − 1) + 3 se convierte en (5, 5). El vértice (0, 0) de |x| se convierte en (3, 1) en y = 2|x − 3| + 1. Vuelve al laboratorio de arriba, elige una función base, mueve a, h y k, y observa el punto rojo de referencia; el panel enumera los movimientos en orden y muestra dónde quedan otros dos puntos.