Преобразования графиков
График y = (x − 3)² + 1 получается сдвигом графика y = x² на 3 вправо и на 1 вверх. Вершина переходит из (0, 0) в (3, 1).
Сначала предположи: x − 3 сдвигает кривую влево или вправо?
Начни с лаборатории, а не с правил. В ней g(x) = (x − 3)² + 1 показана поверх пунктирного графика исходной функции y = x². Не вглядываясь, предположи: x − 3 сдвигает кривую влево или вправо? Теперь найди красную опорную точку. Она находится в (3, 1). Значит, вправо. Поставь k = −2, и вся кривая опустится. Поставь a = −2, и она перевернётся и станет уже. Запомни первое удивление: знак минус сдвинул график вправо. Дальше разберём почему.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
Четыре исходных графика, которые стоит узнавать по форме
Полезно узнавать несколько простых графиков по форме: y = x², параболу; y = |x|, угол с вершиной в начале координат; y = √x, половину повёрнутой набок параболы, начинающуюся в начале координат; и y = x³, которая проходит через начало координат, на миг выравниваясь. OpenStax называет их базовыми функциями. Большинство встречающихся графиков получается из них сдвигом, отражением или растяжением. Все эти изменения описывают четыре правила. Зная исходный график и правила, можно за несколько секунд сделать набросок без таблицы.
Прибавь 20 снаружи, и график открытия вентиляционных люков поднимется на 20
Прибавление постоянной вне функции сдвигает график вверх или вниз. Если g(x) = f(x) + k, каждое значение увеличивается на k, поэтому при k > 0 график поднимается на k единиц, а при k < 0 опускается. OpenStax приводит пример экологичного здания, где люки на крыше открываются и закрываются в течение дня: V(t) обозначает площадь открытых люков в квадратных футах через t часов после полуночи. Если управляющий круглосуточно открывает ещё 20 квадратных футов, новая функция S(t) = V(t) + 20 имеет тот же график, поднятый на 20. Меняются только значения функции, аргументы остаются прежними.
Почему x − 3 сдвигает график вправо, а не влево
Изменение аргумента сдвигает график вбок, и направление часто удивляет. График g(x) = f(x − h) получается сдвигом графика f на h единиц вправо. Чтобы понять почему, найди, где g принимает то значение, которое f имела при 0: g(x) = f(0), когда x − h = 0, то есть при x = h. Всё происходит на h единиц позже. Поэтому (x − 3)² сдвигается на 3 вправо, а |x + 2| = |x − (−2)| на 2 влево. Минус внутри скобок означает вправо, плюс означает влево.
Минус снаружи меняет верх и низ, внутри меняет лево и право
Минус перед функцией, g(x) = −f(x), меняет знак каждого значения, поэтому график отражается относительно оси x: −√x лежит под осью, а не поднимается над ней. Минус у аргумента, g(x) = f(−x), отражает график относительно оси y: √(−x) начинается в начале координат и идёт влево. Умножение значений на положительное число a растягивает график по вертикали при a > 1 и сжимает при 0 < a < 1. Поэтому угол 2|x| круче, а парабола (1/2)x² шире.
Проследи за одной точкой, и весь график последует за ней
Для g(x) = a f(x − h) + k удобно отслеживать несколько точек исходного графика. Точка (x, y) графика f переходит в (x + h, a·y + k) графика g. Точка (4, 2) лежит на y = √x, поэтому на y = √(x − 1) + 3 ей соответствует (5, 5). Вершина (0, 0) графика |x| на y = 2|x − 3| + 1 переходит в (3, 1). Вернись к лаборатории в начале, выбери исходную функцию, меняй a, h и k и следи за красной опорной точкой. Панель перечисляет преобразования по порядку и показывает новые положения ещё двух точек.
- Как расположен график g(x) = x² + 3 относительно y = x²?
- На 3 выше
- На 3 ниже
- На 3 правее
- На 3 левее
- Как расположен g(x) = (x − 4)² относительно y = x²?
- На 4 правее
- На 4 левее
- На 4 выше
- На 4 ниже
- Как расположен g(x) = |x + 2| относительно y = |x|?
- На 2 левее
- На 2 правее
- На 2 выше
- На 2 ниже
- Как выглядит график g(x) = −√x по сравнению с y = √x?
- Отражён относительно оси x
- Отражён относительно оси y
- Сдвинут на 1 вниз
- Растянут в 2 раза
- Где вершина g(x) = (x + 1)² − 5?
- (−1, −5)
- (1, −5)
- (−1, 5)
- (1, 5)
- Где находится вершина угла y = 2|x − 3| + 1?
- (3, 1)
- (−3, 1)
- (3, 2)
- (1, 3)
- Как выглядит y = (1/2)x² по сравнению с y = x²?
- Сжат по вертикали (шире)
- Растянут по вертикали (уже)
- Сдвинут на 1/2 вниз
- Отражён
- (4, 2) лежит на y = √x. Какая точка лежит на y = √(x − 1) + 3?
- (5, 5)
- (3, 5)
- (5, −1)
- (4, 5)
- Какое преобразование задаёт g(x) = f(−x)?
- Отражение относительно оси y
- Отражение относительно оси x
- Сдвиг на 1 влево
- Без изменений
- g(x) получается из y = x³ сдвигом на 2 вниз. Чему равно g(2)?
- Читать y = (x + 2)² как «сдвиг на 2 вправо». x + 2 = x − (−2), поэтому h = −2 и график сдвигается на 2 влево. Вершина находится в (−2, 0). Проверка: (−2 + 2)² = 0.
- Считать f(x + 2) и f(x) + 2 одним и тем же графиком. При f(x) = x² функция f(x + 2) = (x + 2)² сдвигается на 2 влево, а f(x) + 2 = x² + 2 на 2 вверх. При x = 1 они дают 9 и 3.
- Переносить точку (2, 4) графика y = x² в (5, 3) графика y = (x + 3)² − 1. Здесь h = −3, поэтому x сдвигается влево: (2 − 3, 4 − 1) = (−1, 3). Проверка: (−1 + 3)² − 1 = 3.
- f(x) + k: на k вверх (вниз при k < 0).
- f(x − h): на h вправо; f(x + h): на h влево.
- −f(x): отражение относительно оси x; f(−x): относительно оси y.
- a·f(x): растяжение при a > 1, сжатие при 0 < a < 1. Точка (x, y) переходит в (x + h, a·y + k).
Источники курса (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Проверено: 2026-10-18