Обратные функции
C = (5/9)(F − 32) переводит 75 °F примерно в 24 °C. Обратная функция F = (9/5)C + 32 переводит 26 °C примерно в 79 °F.
Бетти читает прогноз в градусах Цельсия, а думает в градусах Фаренгейта
OpenStax рассказывает о Бетти, которая едет в Милан и привыкла к шкале Фаренгейта. Формула C = (5/9)(F − 32) переводит градусы Фаренгейта в градусы Цельсия: 75 °F дают (5/9)(43), примерно 24 °C. Но прогноз дан в градусах Цельсия, а каждый раз решать уравнение относительно F утомительно. Ей нужна вторая формула, которая получает температуру по Цельсию и выдаёт температуру по Фаренгейту. Это обратная функция: значения первой становятся аргументами второй, а аргументы становятся значениями.
−1 в записи f⁻¹ не является показателем степени
Обратную к f функцию записывают f⁻¹ и читают «функция, обратная к f». Число −1 здесь часть обозначения, а не показатель степени: f⁻¹(x) не равно 1/f(x). Главное свойство: обе функции отменяют действие друг друга. Если f(a) = b, то f⁻¹(b) = a, поэтому f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x. Например, если f(3) = 10, то f⁻¹(10) = 3, и никакая формула не нужна. Область определения f⁻¹ является областью значений f, а область значений f⁻¹ является областью определения f.
Вырази x, затем переобозначь буквы
Чтобы найти обратную функцию по формуле, запиши y = f(x), вырази x и затем переобозначь буквы. Для f(x) = 2x + 1: y = 2x + 1, значит y − 1 = 2x и x = (y − 1)/2. После переобозначения f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Проверка: f(3) = 7 и f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Для Бетти решение C = (5/9)(F − 32) относительно F даёт F = (9/5)C + 32. Поэтому 26 °C превращаются в 26 × 9/5 + 32 = 78.8, примерно 79 °F, а 20 °C в 68 °F. Отменяй шаги в обратном порядке: f удваивает и прибавляет 1, значит f⁻¹ вычитает 1 и делит пополам.
x² переводит и 3, и −3 в одно значение 9
Не каждую функцию можно обратить. f(x) = x² переводит и 3, и −3 в 9, поэтому обратная машина, получив 9, не знала бы, что вернуть. Обратная функция существует тогда и только тогда, когда исходная взаимно однозначна. Это проверяется горизонтальной прямой, как в первом разделе. OpenStax предлагает ограничить область определения x² промежутком [0, ∞). На этой половине функция взаимно однозначна, и обратной становится функция квадратного корня √x. Поэтому √9 означает 3, а не −3.
График f⁻¹ получается отражением f относительно прямой y = x
При обмене аргументов и значений меняются местами координаты каждой точки: (a, b) на f становится (b, a) на f⁻¹. Геометрически это отражение относительно диагональной прямой y = x. Значит, график обратной функции зеркально отражает исходный относительно этой прямой. Для f(x) = 2x + 1 точка (1, 3) отражается в (3, 1), лежащую на y = (x − 1)/2. В лаборатории двигай точку по f и следи за парной точкой на f⁻¹. Выбери f(x) = x² на всех действительных числах: отражение превратится в повёрнутую набок параболу, которая не проходит проверку вертикальной прямой.
Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.
- Какая функция обратна к f(x) = 2x + 1?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
- Для f(x) = 2x + 1 чему равно f⁻¹(7)?
- Если f(3) = 10, чему равно f⁻¹(10)?
- Для f(x) = x³ чему равно f⁻¹(8)?
- Есть ли обратная функция у f(x) = x² на всех действительных числах?
- Нет, она не взаимно однозначна
- Да, √x
- Да, 1/x²
- Да, −x²
- Что означает f⁻¹(x)?
- Значение обратной к f функции при x
- 1/f(x)
- Число f(x) в степени −1
- −f(x)
- (2, 5) лежит на графике f. Какая точка лежит на графике f⁻¹?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
- Переведи 20 °C в градусы Фаренгейта по формуле F = (9/5)C + 32.
- Для f(x) = x/2 − 3 чему равно f⁻¹(1)?
- Что всегда верно для функции f и обратной к ней?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)
| Обратная функция f⁻¹ | Меняет аргументы и значения местами: f(a) = b означает f⁻¹(b) = a |
| Как найти f⁻¹ | Запиши y = f(x), вырази x, переобозначь буквы |
| У каких функций есть обратные | У взаимно однозначных функций (проверка горизонтальной прямой) |
| График f⁻¹ | Зеркальное отражение f относительно прямой y = x |
- Писать f⁻¹(x) = 1/(3x − 6) для f(x) = 3x − 6. Это обратная величина 1/f(x). Вместо этого отмени шаги: f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Проверка с 4: f(4) = 6 и f⁻¹(6) = 4, тогда как 1/f(4) = 1/6.
- Отменять действие f(x) = 2x + 1 словами «разделить пополам, затем вычесть 1», получая x/2 − 1. f удваивает и прибавляет 1, поэтому обратная действует в обратном порядке: сначала вычитает 1, затем делит пополам. При 7 выражение x/2 − 1 даёт 2.5, но f(2.5) = 6, а не 7.
- Отражать f относительно оси x, чтобы построить f⁻¹. Отражение относительно оси x даёт −f(x). Обратная функция меняет координаты местами, то есть отражает относительно y = x: точка (2, 7) графика f(x) = 3x + 1 переходит в (7, 2), а не (2, −7).
- f⁻¹ отменяет действие f: f⁻¹(f(x)) = x и f(f⁻¹(x)) = x.
- f⁻¹(x) не равно 1/f(x).
- Чтобы найти её: запиши y = f(x), вырази x, поменяй буквы.
- Обратные существуют только у взаимно однозначных функций; график f⁻¹ получается отражением f относительно y = x.
Источники курса (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Проверено: 2026-10-18