역함수
C = (5/9)(F − 32)는 화씨 75도를 섭씨 약 24도로 바꿉니다. 그 역함수 F = (9/5)C + 32는 섭씨 26도를 화씨 약 79도로 바꿉니다.
섭씨 일기예보를 화씨로 읽고 싶은 베티
OpenStax 교재에 나오는 베티는 밀라노 여행을 앞두고 있습니다. 베티는 기온을 화씨로 생각하는 사람입니다. C = (5/9)(F − 32)는 화씨를 섭씨로 바꾸는 공식이라, 화씨 75도는 (5/9)(43), 섭씨 약 24도입니다. 그런데 밀라노의 일기예보는 섭씨로 나옵니다. 예보를 볼 때마다 방정식을 F에 대해 다시 풀기는 번거롭습니다. 베티에게 필요한 것은 섭씨를 넣으면 화씨가 나오는 두 번째 공식입니다. 이렇게 처음 함수의 입력과 출력을 맞바꾼 함수를 역함수라고 합니다. 우리는 반대 처지입니다. 섭씨에 익숙한 사람이 미국 여행 중에 「최고 기온 86도」라는 예보를 보면(지어낸 장면) 화씨를 섭씨로 바꾸는 쪽이 필요하고, C = (5/9)(86 − 32) = 30이니 섭씨 30도의 한여름 날씨입니다.
f⁻¹의 −1은 지수가 아닙니다
f의 역함수는 f⁻¹로 쓰고 「f 인버스」라고 읽습니다. 여기서 −1은 이름의 일부이지 지수가 아니어서, f⁻¹(x)는 1/f(x)와 다릅니다. 역함수와 원래 함수는 서로 한 일을 되돌립니다. f(a) = b이면 f⁻¹(b) = a이고, 그래서 f⁻¹(f(x)) = x, f(f⁻¹(x)) = x입니다. f(3) = 10이라는 사실 하나만 알아도 식 없이 f⁻¹(10) = 3이라고 말할 수 있습니다. f⁻¹의 정의역은 f의 치역이고, f⁻¹의 치역은 f의 정의역입니다. 고등학교 공통수학2 성취기준 [10공수2-03-03]이 「역함수의 개념을 설명하고, 역함수를 구할 수 있다」입니다.
x에 대해 풀고 문자를 맞바꿉니다
식에서 역함수를 구할 때는 y = f(x)로 놓고 x에 대해 푼 다음, x와 y를 맞바꿉니다. f(x) = 2x + 1이면 y = 2x + 1에서 y − 1 = 2x, x = (y − 1)/2입니다. 문자를 바꾸면 f⁻¹(x) = (x − 1)/2입니다. 확인해 보면 f(3) = 7이고 f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3입니다. 베티의 공식 C = (5/9)(F − 32)를 F에 대해 풀면 F = (9/5)C + 32입니다. 섭씨 26도는 26 × 9/5 + 32 = 78.8, 화씨 약 79도이고, 섭씨 20도는 화씨 68도입니다. f가 밟은 단계를 거꾸로 밟는다고 생각하면 쉽습니다. f는 2배 한 뒤 1을 더하니, f⁻¹은 1을 먼저 빼고 2로 나눕니다.
x²는 3과 −3을 같은 9로 보냅니다
모든 함수를 거꾸로 돌릴 수 있지는 않습니다. f(x) = x²는 3과 −3을 둘 다 9로 보내므로, 9를 받은 역방향 기계는 무엇을 돌려줘야 할지 모릅니다. 역함수가 있으려면 함수가 일대일이어야 하고, 일대일인지는 첫 단원의 가로선 검사로 확인합니다. OpenStax 교재는 x²의 정의역을 [0, ∞)로 제한하는 방법을 씁니다. 그 절반에서는 x²가 일대일이고, 역함수는 제곱근 함수 √x입니다. √9가 −3이 아니라 3인 까닭도 여기에 있습니다.
역함수의 그래프는 직선 y = x에 대해 대칭입니다
입력과 출력을 맞바꾸면 점의 좌표도 맞바뀝니다. f 위의 점 (a, b)는 f⁻¹ 위의 점 (b, a)가 됩니다. 좌표평면에서 이 맞바꿈은 직선 y = x에 대한 대칭이동이고, 공통수학2 [10공수2-01-07]이 다루는 대칭이동 가운데 하나입니다. 그래서 f⁻¹의 그래프와 f의 그래프는 직선 y = x에 대해 대칭입니다. f(x) = 2x + 1 위의 점 (1, 3)은 (3, 1)로 옮겨 가고, 이 점은 y = (x − 1)/2 위에 있습니다. 아래 실험실에서 f 위의 점을 움직이면 짝이 되는 점이 f⁻¹ 위에서 따라 움직입니다. 실수 전체에서 정의된 f(x) = x²를 고르면 대칭인 곡선이 옆으로 누운 포물선이 되어 세로선 검사를 통과하지 못합니다.
끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.
- f(x) = 2x + 1의 역함수는 무엇일까요?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
- f(x) = 2x + 1일 때 f⁻¹(7)은 얼마일까요?
- f(3) = 10이면 f⁻¹(10)은 얼마일까요?
- f(x) = x³일 때 f⁻¹(8)은 얼마일까요?
- 모든 실수에서 정의된 f(x) = x²에는 역함수가 있을까요?
- 아니요, 일대일이 아님
- 예, √x
- 예, 1/x²
- 예, −x²
- f⁻¹(x)는 무엇을 뜻할까요?
- x에서의 f의 역함수 값
- 1/f(x)
- 수로서 f(x)의 −1제곱
- −f(x)
- (2, 5)가 f의 그래프 위에 있습니다. f⁻¹의 그래프 위에 있는 점은 어느 것일까요?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
- F = (9/5)C + 32로 섭씨 20도를 화씨로 바꾸세요.
- f(x) = x/2 − 3일 때 f⁻¹(1)은 얼마일까요?
- 함수 f와 그 역함수에 대해 언제나 참인 것은 어느 것일까요?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)
| 역함수 f⁻¹ | 입력과 출력을 맞바꿈: f(a) = b이면 f⁻¹(b) = a |
| f⁻¹ 구하기 | y = f(x)로 쓰고 x에 대해 푼 뒤 문자를 바꿈 |
| 역함수가 있는 함수 | 일대일 함수(가로선 검사) |
| f⁻¹의 그래프 | y = x에 대한 f의 거울상 |
- f(x) = 3x − 6의 역함수를 f⁻¹(x) = 1/(3x − 6)으로 쓰기 1/(3x − 6)은 역수 1/f(x)입니다. 단계를 되돌리면 f⁻¹(x) = (x + 6)/3입니다. 4로 확인하면 f(4) = 6, f⁻¹(6) = 4인데 1/f(4) = 1/6입니다.
- f(x) = 2x + 1을 「반으로 나누고 1 빼기」로 되돌려 x/2 − 1이라고 쓰기 f는 2배 한 뒤 1을 더하므로 거꾸로 1을 먼저 빼고 반으로 나눠야 합니다. 7을 넣으면 x/2 − 1은 2.5를 내는데 f(2.5) = 6이라 7이 아닙니다.
- f⁻¹을 그리려고 f를 x축에 대해 뒤집기 x축에 대해 뒤집으면 −f(x)가 됩니다. 역함수는 좌표를 맞바꾸므로 직선 y = x에 대한 대칭입니다. f(x) = 3x + 1 위의 (2, 7)은 (2, −7)이 아니라 (7, 2)로 갑니다.
- f⁻¹은 f를 되돌립니다. f⁻¹(f(x)) = x, f(f⁻¹(x)) = x입니다.
- f⁻¹(x)는 1/f(x)가 아닙니다.
- 구하는 법: y = f(x)로 쓰고 x에 대해 풀고 문자를 바꿉니다.
- 일대일함수만 역함수가 있고, f⁻¹의 그래프는 f의 그래프와 직선 y = x에 대해 대칭입니다.
이 과정의 출처 (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
확인한 날: 2026-10-18