Inverse functies
C = (5/9)(F − 32) zet 75 °F om naar ongeveer 24 °C. De inverse F = (9/5)C + 32 zet 26 °C om naar ongeveer 79 °F.
Betty leest een Celsiusverwachting in Fahrenheit
OpenStax vertelt over Betty, die naar Milaan gaat en in Fahrenheit denkt. De formule C = (5/9)(F − 32) rekent Fahrenheit om naar Celsius: 75 °F is (5/9)(43), ongeveer 24 °C. Maar de weersverwachting staat in Celsius. Elke keer de vergelijking naar F oplossen is omslachtig. Ze wil een tweede formule die een temperatuur in Celsius als invoer neemt en Fahrenheit teruggeeft. Dat is een inverse functie: de uitvoer van de eerste wordt de invoer van de tweede en de invoer wordt de uitvoer.
De −1 in f⁻¹ is geen exponent
De inverse van f schrijf je als f⁻¹, uitgesproken als ‘f-inverse’. De −1 hoort bij de naam en is geen exponent: f⁻¹(x) is niet 1/f(x). De bepalende eigenschap is dat beide functies elkaar ongedaan maken. Als f(a) = b, dan is f⁻¹(b) = a. Daarom geldt f⁻¹(f(x)) = x en f(f⁻¹(x)) = x. Als bijvoorbeeld f(3) = 10, weet je zonder formule al dat f⁻¹(10) = 3. Het domein van f⁻¹ is het bereik van f en het bereik van f⁻¹ is het domein van f.
Maak x vrij en verwissel de letters
Om een inverse uit een formule te vinden, schrijf je y = f(x), los je op naar x en verwissel je de letternamen. Bij f(x) = 2x + 1 geldt y = 2x + 1, dus y − 1 = 2x en x = (y − 1)/2. Na hernoemen krijg je f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Controleer: f(3) = 7 en f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Voor Betty levert C = (5/9)(F − 32) oplossen naar F de formule F = (9/5)C + 32 op. Zo wordt 26 °C gelijk aan 26 × 9/5 + 32 = 78.8, ongeveer 79 °F. Bij 20 °C krijg je 68 °F. Maak de stappen in omgekeerde volgorde ongedaan: f verdubbelt en telt 1 op, dus f⁻¹ trekt 1 af en halveert.
x² stuurt 3 en −3 naar dezelfde 9
Niet elke functie is omkeerbaar. f(x) = x² stuurt zowel 3 als −3 naar 9. Een omgekeerde machine met invoer 9 zou niet weten welke zij moet teruggeven. Een functie heeft precies dan een inverse als zij een-op-een is. Dat controleer je met de horizontale-lijntest uit het eerste hoofdstuk. OpenStax lost het voor x² op door het domein tot [0, ∞) te beperken. Op die helft is de functie een-op-een en is haar inverse de vierkantswortelfunctie √x. Daarom betekent √9 wel 3 maar niet −3.
De inversegrafiek is f gespiegeld in y = x
Invoer en uitvoer verwisselen betekent de coördinaten van elk punt omwisselen: (a, b) op f wordt (b, a) op f⁻¹. Meetkundig is dat een spiegeling in de diagonale lijn y = x. De grafiek van een inverse is dus het spiegelbeeld van de oorspronkelijke grafiek in die lijn. Bij f(x) = 2x + 1 wordt (1, 3) gespiegeld naar (3, 1), dat op y = (x − 1)/2 ligt. Beweeg in het practicum het punt langs f en bekijk het bijbehorende punt op f⁻¹. Kies f(x) = x² voor alle reële getallen en het spiegelbeeld wordt een liggende parabool die de verticale-lijntest niet doorstaat.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
- Wat is de inverse van f(x) = 2x + 1?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
- Bij f(x) = 2x + 1, wat is f⁻¹(7)?
- Als f(3) = 10, wat is f⁻¹(10)?
- Bij f(x) = x³, wat is f⁻¹(8)?
- Heeft f(x) = x² op alle reële getallen een inverse functie?
- Nee, niet een-op-een
- Ja, √x
- Ja, 1/x²
- Ja, −x²
- Wat betekent f⁻¹(x)?
- De inverse functie van f bij x
- 1/f(x)
- f(x) als getal tot macht −1
- −f(x)
- (2, 5) ligt op f. Welk punt ligt op f⁻¹?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
- Reken 20 °C om met F = (9/5)C + 32.
- Bij f(x) = x/2 − 3, wat is f⁻¹(1)?
- Wat geldt altijd voor f en zijn inverse?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)
| Inverse functie f⁻¹ | Wisselt invoer en uitvoer: f(a) = b betekent f⁻¹(b) = a |
| f⁻¹ vinden | Schrijf y = f(x), maak x vrij en hernoem de letters |
| Welke functies zijn omkeerbaar? | Een-op-eenfuncties (horizontale-lijntest) |
| Grafiek van f⁻¹ | Het spiegelbeeld van f in y = x |
- Bij f(x) = 3x − 6 schrijven: f⁻¹(x) = 1/(3x − 6). Dat is de omgekeerde waarde 1/f(x). Keer de stappen om: f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Controle met 4: f(4) = 6 en f⁻¹(6) = 4, maar 1/f(4) = 1/6.
- f(x) = 2x + 1 terugdraaien als ‘halveren, dan 1 aftrekken’: x/2 − 1. f verdubbelt en telt 1 bij: omgekeerd eerst 1 eraf, dan halveren. Bij 7 geeft x/2 − 1 de waarde 2.5, maar f(2.5) = 6, niet 7.
- f spiegelen in de x-as voor f⁻¹. Spiegelen in de x-as geeft −f(x). De inverse ruilt coördinaten en spiegelt dus in y = x: (2, 7) op f(x) = 3x + 1 wordt (7, 2), niet (2, −7).
- f⁻¹ heft f op: f⁻¹(f(x)) = x en f(f⁻¹(x)) = x.
- f⁻¹(x) is niet 1/f(x).
- Vinden: y = f(x), maak x vrij, verwissel letters.
- Alleen een-op-eenfuncties hebben een inverse; de grafiek spiegelt f in y = x.
Bronnen van deze cursus (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Geraadpleegd: 2026-10-18