Funciones inversas

C = (5/9)(F − 32) convierte 75 °F en unos 24 °C. Su inversa, F = (9/5)C + 32, convierte 26 °C en unos 79 °F.

Betty lee en Fahrenheit un pronóstico dado en Celsius

OpenStax cuenta el caso de Betty, que va a Milán y piensa en Fahrenheit. La fórmula C = (5/9)(F − 32) convierte Fahrenheit a Celsius: 75 °F son (5/9)(43), unos 24 °C. Pero el pronóstico está en Celsius y sería tedioso despejar F en la ecuación cada vez. Lo que necesita es una segunda fórmula que reciba una temperatura en Celsius y devuelva Fahrenheit. Eso es una función inversa: las salidas de la primera se convierten en las entradas de la segunda, y las entradas se convierten en las salidas.

El −1 de f⁻¹ no es un exponente

La inversa de f se escribe f⁻¹ y se lee «f inversa». El −1 forma parte del nombre, no es un exponente: f⁻¹(x) no es 1/f(x). La propiedad que la define es que las dos funciones se deshacen mutuamente. Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a, y por tanto f⁻¹(f(x)) = x y f(f⁻¹(x)) = x. Por ejemplo, si f(3) = 10, entonces f⁻¹(10) = 3 sin necesidad de ninguna fórmula. El dominio de f⁻¹ es el rango de f, y el rango de f⁻¹ es el dominio de f.

Despeja x y después intercambia las letras

Para hallar una inversa a partir de una fórmula, escribe y = f(x), despeja x y después intercambia los nombres de las letras. Para f(x) = 2x + 1: y = 2x + 1, así que y − 1 = 2x y x = (y − 1)/2. Al cambiar los nombres queda f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Comprueba: f(3) = 7 y f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Para Betty, despejar F en C = (5/9)(F − 32) da F = (9/5)C + 32, así que 26 °C se convierten en 26 × 9/5 + 32 = 78.8, unos 79 °F, y 20 °C se convierten en 68 °F. Deshaz los pasos en orden inverso: f duplica y después suma 1, así que f⁻¹ resta 1 y después divide entre dos.

x² lleva tanto 3 como −3 al mismo 9

No todas las funciones se pueden invertir. f(x) = x² lleva tanto 3 como −3 a 9, así que una máquina inversa que recibiera 9 no sabría cuál devolver. Una función tiene inversa precisamente cuando es inyectiva, algo que puedes comprobar con la prueba de la recta horizontal de la primera unidad. La solución de OpenStax para x² es restringir su dominio a [0, ∞). En esa mitad, la función es inyectiva y su inversa es la función raíz cuadrada, √x. Por eso √9 significa 3 y no −3.

La gráfica de f⁻¹ es el reflejo de f respecto a la recta y = x

Intercambiar entradas y salidas intercambia las coordenadas de cada punto: (a, b) en f se convierte en (b, a) en f⁻¹. Geométricamente, ese intercambio es una reflexión respecto a la diagonal y = x. Por tanto, la gráfica de una inversa es la imagen especular de la original respecto a esa recta. Para f(x) = 2x + 1, el punto (1, 3) se refleja en (3, 1), que está en y = (x − 1)/2. En el laboratorio, mueve el punto a lo largo de f y observa cómo su pareja se mueve por f⁻¹. Elige f(x) = x² sobre todos los números reales y el reflejo se convierte en una parábola de lado que no pasa la prueba de la recta vertical.