Fungsi invers
C = (5/9)(F − 32) mengubah 75 °F menjadi sekitar 24 °C. Inversnya, F = (9/5)C + 32, mengubah 26 °C menjadi sekitar 79 °F.
Betty membaca prakiraan Celsius dalam Fahrenheit
OpenStax menceritakan Betty yang akan pergi ke Milan dan terbiasa dengan Fahrenheit. Rumus C = (5/9)(F − 32) mengubah Fahrenheit menjadi Celsius: 75 °F adalah (5/9)(43), sekitar 24 °C. Namun prakiraannya memakai Celsius, dan menyelesaikan persamaan untuk F setiap kali akan merepotkan. Ia memerlukan rumus kedua yang menerima suhu Celsius dan menghasilkan Fahrenheit. Itulah fungsi invers: keluaran fungsi pertama menjadi masukan fungsi kedua, dan masukan menjadi keluaran.
−1 pada f⁻¹ bukan pangkat
Invers f ditulis f⁻¹, dibaca "f invers". −1 adalah bagian dari namanya, bukan pangkat: f⁻¹(x) bukan 1/f(x). Sifat penentunya adalah kedua fungsi saling membatalkan. Jika f(a) = b, maka f⁻¹(b) = a, sehingga f⁻¹(f(x)) = x dan f(f⁻¹(x)) = x. Misalnya, jika f(3) = 10, maka f⁻¹(10) = 3 tanpa memerlukan rumus. Daerah asal f⁻¹ adalah daerah hasil f, dan daerah hasil f⁻¹ adalah daerah asal f.
Selesaikan untuk x, lalu tukar nama hurufnya
Untuk mencari invers dari rumus, tulis y = f(x), selesaikan untuk x, lalu tukar nama hurufnya. Untuk f(x) = 2x + 1: y = 2x + 1, sehingga y − 1 = 2x dan x = (y − 1)/2. Mengganti nama memberi f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Periksa: f(3) = 7 dan f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Untuk Betty, menyelesaikan C = (5/9)(F − 32) untuk F memberi F = (9/5)C + 32, sehingga 26 °C menjadi 26 × 9/5 + 32 = 78.8, sekitar 79 °F, dan 20 °C menjadi 68 °F. Batalkan langkah dalam urutan terbalik: f menggandakan lalu menambah 1, jadi f⁻¹ mengurangkan 1 lalu membagi dua.
x² memasangkan 3 dan −3 dengan 9 yang sama
Tidak semua fungsi dapat dibalik. f(x) = x² memasangkan 3 dan −3 dengan 9, sehingga mesin balik yang menerima 9 tidak tahu nilai mana yang harus dikembalikan. Fungsi memiliki invers jika dan hanya jika satu-satu, yang dapat diperiksa dengan uji garis mendatar dari unit pertama. Cara OpenStax memperbaiki x² adalah membatasi daerah asalnya menjadi [0, ∞). Pada setengah ini fungsinya satu-satu, dan inversnya adalah fungsi akar kuadrat, √x. Itulah sebabnya √9 berarti 3, bukan −3.
Grafik f⁻¹ adalah pencerminan f terhadap garis y = x
Menukar masukan dan keluaran menukar koordinat setiap titik: (a, b) pada f menjadi (b, a) pada f⁻¹. Secara geometris, pertukaran ini merupakan pencerminan terhadap garis diagonal y = x. Jadi grafik invers adalah bayangan cermin fungsi semula terhadap garis itu. Untuk f(x) = 2x + 1, titik (1, 3) dicerminkan ke (3, 1), yang terletak pada y = (x − 1)/2. Di laboratorium, gerakkan titik sepanjang f dan amati pasangannya bergerak sepanjang f⁻¹. Pilih f(x) = x² pada semua bilangan real dan bayangan cerminnya menjadi parabola menyamping yang tidak lolos uji garis tegak.
Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.
- Apa invers f(x) = 2x + 1?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
- Untuk f(x) = 2x + 1, berapa f⁻¹(7)?
- Jika f(3) = 10, berapa f⁻¹(10)?
- Untuk f(x) = x³, berapa f⁻¹(8)?
- Apakah f(x) = x² pada semua bilangan real memiliki fungsi invers?
- Tidak, karena bukan satu-satu
- Ya, √x
- Ya, 1/x²
- Ya, −x²
- Apa arti f⁻¹(x)?
- Nilai fungsi invers f pada x
- 1/f(x)
- f(x) dipangkatkan −1 sebagai bilangan
- −f(x)
- (2, 5) terletak pada grafik f. Titik mana terletak pada grafik f⁻¹?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
- Ubah 20 °C menjadi Fahrenheit dengan F = (9/5)C + 32.
- Untuk f(x) = x/2 − 3, berapa f⁻¹(1)?
- Mana yang selalu benar untuk fungsi f dan inversnya?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)
| Fungsi invers f⁻¹ | Menukar masukan dan keluaran: f(a) = b berarti f⁻¹(b) = a |
| Mencari f⁻¹ | Tulis y = f(x), selesaikan untuk x, ganti nama hurufnya |
| Fungsi mana yang memiliki invers | Fungsi satu-satu (uji garis mendatar) |
| Grafik f⁻¹ | Bayangan cermin f terhadap garis y = x |
- Menulis f⁻¹(x) = 1/(3x − 6) untuk f(x) = 3x − 6. Itu kebalikan 1/f(x). Sebaliknya, batalkan langkah-langkahnya: f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Periksa dengan 4: f(4) = 6 dan f⁻¹(6) = 4, sedangkan 1/f(4) = 1/6.
- Membatalkan f(x) = 2x + 1 dengan "bagi dua, lalu kurangi 1", yang menghasilkan x/2 − 1. f menggandakan lalu menambah 1, sehingga inversnya bekerja terbalik: kurangi 1 dahulu, lalu bagi dua. Pada 7, x/2 − 1 menghasilkan 2.5, tetapi f(2.5) = 6, bukan 7.
- Mencerminkan f terhadap sumbu x untuk menggambar f⁻¹. Pencerminan terhadap sumbu x menghasilkan −f(x). Invers menukar koordinat, yaitu pencerminan terhadap y = x: (2, 7) pada f(x) = 3x + 1 berpindah ke (7, 2), bukan (2, −7).
- f⁻¹ membatalkan f: f⁻¹(f(x)) = x dan f(f⁻¹(x)) = x.
- f⁻¹(x) bukan 1/f(x).
- Untuk mencarinya: y = f(x), selesaikan untuk x, tukar hurufnya.
- Hanya fungsi satu-satu yang memiliki invers; grafik f⁻¹ adalah pencerminan f terhadap y = x.
Sumber kursus ini (8)
- Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
- Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
- History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)
Diperiksa: 2026-10-18