Daerah asal dan daerah hasil

f(x) = √(x + 2) tidak memiliki keluaran real pada x = −3 karena −3 + 2 = −1 dan bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Daerah asalnya dimulai dari −2.

Apa hasil memasukkan −3 ke √(x + 2)?

Kita mudah mengira bahwa rumus menerima bilangan apa pun. Cobalah: masukkan x = −3 ke f(x) = √(x + 2). Di bawah tanda akar diperoleh −3 + 2 = −1, dan tidak ada bilangan real yang kuadratnya −1. Tidak ada keluaran. Jadi rumus itu sendiri menolak beberapa masukan, dan masukan yang diterimanya membentuk himpunan dengan nama tersendiri.

Daerah asal berisi masukan, daerah hasil berisi keluaran

Daerah asal fungsi adalah himpunan masukan yang diterimanya, sedangkan daerah hasil adalah himpunan keluaran yang dapat dihasilkannya. Untuk daftar pasangan, keduanya tinggal dibaca. OpenStax memberi fungsi {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: daerah asalnya {2, 3, 4, 5, 6} dan daerah hasilnya {10, 20, 30, 40}. Nilai 10 muncul dua kali sebagai keluaran tetapi dicantumkan sekali dalam daerah hasil. Untuk rumus, daerah asal biasanya mencakup semua bilangan real yang tidak melanggar aturan aritmetika.

Dua aturan menentukan sebagian besar daerah asal

Untuk bilangan real, perhatikan dua aturan. Kamu tidak boleh membagi dengan 0 dan tidak boleh mengambil akar berpangkat genap, misalnya akar kuadrat, dari bilangan negatif. OpenStax merangkumnya menjadi pemeriksaan singkat. Jika rumus tidak memiliki penyebut dan akar berpangkat genap, daerah asalnya kemungkinan semua bilangan real. Jika memiliki penyebut, keluarkan semua x yang membuat penyebut 0. Jika memiliki akar berpangkat genap, ambil hanya x yang membuat bentuk di bawah akar nol atau positif. Situasi nyata memberi batas tambahan: jumlah tiket tidak mungkin negatif.

Contoh akan memperjelasnya. Untuk f(x) = 1/(x − 1), penyebutnya 0 pada x = 1, sehingga daerah asalnya semua bilangan real kecuali 1. Untuk f(x) = √(x + 2), diperlukan x + 2 ≥ 0, jadi x ≥ −2. Untuk f(x) = √(6 − x), diperlukan 6 − x ≥ 0, jadi x ≤ 6. Untuk f(x) = x² − 4 tidak ada yang harus dihindari dan daerah asalnya semua bilangan real; tetapi daerah hasilnya tidak mencakup semuanya karena x² tidak pernah negatif sehingga x² − 4 tidak pernah kurang dari −4.

Kurung siku menyertakan titik ujung, kurung biasa tidak

Daerah asal dan daerah hasil sering berupa ruas garis bilangan, dan notasi interval menuliskannya secara ringkas. Titik ujung lebih kecil ditulis dahulu, lalu koma, lalu yang lebih besar. Kurung siku [ atau ] berarti titik ujung disertakan; kurung biasa ( atau ) berarti tidak disertakan. Tak hingga bukan bilangan yang dapat dicapai, jadi selalu memakai kurung biasa. Contoh OpenStax: jika kamu memiliki $100 untuk dibelanjakan, jumlah belanja lebih dari 0 dan paling banyak 100, ditulis (0, 100]. Daerah asal √(x + 2) adalah [−2, ∞), dan daerah asal 1/(x − 1) adalah (−∞, 1) ∪ (1, ∞), dengan ∪ menggabungkan dua bagian.

Daerah asal dan daerah hasil sebagai bayangan pada dua sumbu

Pada grafik, daerah asal adalah bayangan kurva pada sumbu x, sedangkan daerah hasil adalah bayangannya pada sumbu y. Bayangkan grafik dipipihkan ke masing-masing sumbu dan lihat bagian yang tertutup. Di laboratorium, batang hijau pada sumbu x menunjukkan daerah asal dan batang jingga pada sumbu y menunjukkan daerah hasil. Titik penuh di ujung berarti titik itu termasuk himpunan; titik kosong berarti tidak termasuk, seperti lingkaran kosong pada x = 1 untuk 1/(x − 1). Geser penggeser x ke daerah terlarang dan panel menjelaskan aturan yang dilanggar masukan itu.