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定義域と値域

f(x) = √(x + 2)はx = −3で実数の出力を持ちません。−3 + 2 = −1となり、負の数の実数の平方根は存在しないからです。定義域は−2から始まります。

√(x + 2)に−3を入れると何が出る？

式にはどんな数でも入れられると思うかもしれません。f(x) = √(x + 2)にx = −3を代入してみましょう。根号の中は−3 + 2 = −1ですが、二乗して−1になる実数はありません。出力が得られないのです。このように式自体が一部の入力を除外します。受け入れられる入力の集合には名前があります。

定義域は入力、値域は出力

関数の定義域は受け入れられる入力の集合、値域は生じ得る出力の集合です。組の一覧なら、そのまま読み取れます。OpenStaxの例{(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}の定義域は{2, 3, 4, 5, 6}、値域は{10, 20, 30, 40}です。出力10は二度現れますが、値域には一度だけ書きます。式の場合、通常は計算の規則に反しないすべての実数が定義域です。

定義域の多くは二つの規則で決まる

実数では二つの規則に注意します。0で割ることと、負の数の平方根など偶数乗根を取ることはできません。OpenStaxでは簡潔に確認します。分母も偶数乗根もなければ、定義域は通常すべての実数です。分母があれば、それを0にするxを除きます。偶数乗根があれば、根号内が0以上になるxだけを残します。現実の状況では、チケットの枚数は負にならないなどの制限も加わります。

例を見ましょう。f(x) = 1/(x − 1)はx = 1で分母が0になるので、定義域は1以外のすべての実数です。f(x) = √(x + 2)はx + 2 ≥ 0、つまりx ≥ −2が必要です。f(x) = √(6 − x)では6 − x ≥ 0よりx ≤ 6です。f(x) = x² − 4には除く数がないため定義域はすべての実数ですが、値域は違います。x²は負にならず、x² − 4は−4より小さくなりません。

角括弧は端を含み、丸括弧は含まない

定義域と値域は数直線上の区間になることが多く、区間の記法で簡潔に書けます。小さい端点、コンマ、大きい端点の順です。角括弧[や]は端点を含み、丸括弧(や)は含みません。無限大は到達できる数ではないため、必ず丸括弧を使います。OpenStaxの例では、使えるお金が100ドルなら、支出額は0より大きく100以下で、(0, 100]と書きます。√(x + 2)の定義域は[−2, ∞)、1/(x − 1)は(−∞, 1) ∪ (1, ∞)です。∪は二つの部分を合わせます。

言葉不等式区間
xは−2以上x ≥ −2[−2, ∞)
xは6以下x ≤ 6(−∞, 6]
xは0より大きく100以下0 < x ≤ 100(0, 100]
1以外のすべての実数x ≠ 1(−∞, 1) ∪ (1, ∞)
すべての実数(−∞, ∞)

定義域と値域は二つの軸への影

グラフでは、曲線をx軸に映した影が定義域、y軸に映した影が値域です。グラフをそれぞれの軸に押しつぶし、覆う範囲を考えましょう。実験ではx軸の緑の帯が定義域、y軸のオレンジの帯が値域です。端の黒丸はその端点を含み、白丸は含まないことを表します。1/(x − 1)のx = 1にある白丸がその例です。xのスライダーを許されない範囲に動かすと、どの規則に反するかパネルに表示されます。

読み込み中

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f(x) = √(x + 2)：定義域は[−2, ∞)、値域は[0, ∞)です。一覧から1/(x − 1)などを選び、x = 1を試しましょう。
  1. f(x) = √(x + 2)の定義域は何ですか。
    • [−2, ∞)
    • (−2, ∞)
    • [2, ∞)
    • (−∞, ∞)
  2. f(x) = 1/(x − 1)の定義域は何ですか。
    • (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
    • (1, ∞)
    • [1, ∞)
    • (−∞, ∞)
  3. f(x) = x² − 4の値域は何ですか。
    • [−4, ∞)
    • (−∞, ∞)
    • [4, ∞)
    • (−4, ∞)
  4. f(x) = √(x − 5)の定義域で最小の数はいくつですか。
  5. f(x) = 1/(x + 3)の定義域から除く入力はどれですか。
  6. 「0より大きく100以下」を区間でどう書きますか。
    • (0, 100]
    • [0, 100)
    • [0, 100]
    • (0, 100)
  7. {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}の定義域は何ですか。
    • {2, 3, 4, 5, 6}
    • {10, 20, 30, 40}
    • {2, 10}
    • {2, 3, 4, 5, 6, 10, 20, 30, 40}
  8. 同じ組の集合の値域は何ですか。
    • {10, 20, 30, 40}
    • {10, 10, 20, 30, 40}
    • {2, 3, 4, 5, 6}
    • [10, 40]
  9. f(x) = 3 − |x|の値域は何ですか。
    • (−∞, 3]
    • [3, ∞)
    • (−∞, 3)
    • (−∞, ∞)
  10. f(x) = x³の定義域は何ですか。
    • (−∞, ∞)
    • [0, ∞)
    • (0, ∞)
    • (−∞, 0]
よくある間違い
  • {(1, 4), (2, 4), (3, 9)}の定義域を{4, 9}とする。 それは値域です。定義域は最初の数の集合{1, 2, 3}です。書く前にどちらが入力か確認しましょう。
  • f(x) = x² + 1の定義域が(−∞, ∞)なので、値域も(−∞, ∞)とする。 定義域と値域は別々に考えます。x² ≥ 0よりx² + 1 ≥ 1で、x = 0で1になります。値域は[1, ∞)です。
  • √(x − 3)の定義域を(3, ∞)と書く。 x = 3では√0 = 0という実数になるので、3を含む[3, ∞)です。根号内が0でも構いませんが、分母が0ではいけません。
先生からひとこと初心者には定義域と値域が似て聞こえ、どちらも集合です。式の前に、定義域は入力・x軸、値域は出力・y軸と方向を結び付けましょう。式ではx − 1 ≠ 0やx + 2 ≥ 0などの条件を先に書き、その後で区間にします。いきなり括弧を書くと端点を間違えがちです。
ポイント
  • 定義域は可能な入力、値域は可能な出力です。
  • 0で割る入力や、負の数の偶数乗根を取る入力を除きます。
  • 区間では[ ]は端点を含み、( )は含みません。∞には必ず( )を使います。
  • グラフの定義域と値域は、二つの軸に映した影です。
このコースの出典 (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

確認日: 2026-10-18