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合成関数

f(x) = 2x + 1、g(x) = 3 − xでは、f(g(x)) = 7 − 2xですが、g(f(x)) = 2 − 2xです。順序で答えが変わります。

割引とクーポン、どちらが先？

50ドルの商品を買う二通りの方法を考えます。店の10%引きはd(x) = 0.9x、5ドルのクーポンはc(x) = x − 5です。割引の後にクーポンならc(d(50)) = 45 − 5 = 40ドル、逆ならd(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50ドルです。50セント違います。どちらも一方の出力をそのまま他方に入力しました。順序だけで支払額が変わったのです。

腹筋運動からカロリーへ：内側の関数が先に働く

ある関数の出力が、次の関数の入力になることがあります。OpenStaxの腹筋運動の例では、s(t)はt分間の回数、c(s)はs回で消費するカロリーです。時間からカロリーを求めるには、まず回数、次にカロリーを求めるのでc(s(t))です。このつなぎ方を合成といい、(c ∘ s)(t) = c(s(t))と書き、「cとsの合成」と読みます。後ろの内側に書かれた関数が先に働きます。

f(g(1))：入力1は先にgを通って2になり、次にfを通って5になります。

f(g(x)) = 7 − 2xですが、g(f(x)) = 2 − 2xです。

f(x) = 2x + 1、g(x) = 3 − xでf(g(1))を求めるには、内側から計算します。まずg(1) = 3 − 1 = 2、次にf(2) = 2 × 2 + 1 = 5です。式を求めるには、fのxをg(x)全体で置き換えます。f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2xです。x = 1で確認すると7 − 2 = 5で一致します。逆順ではg(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x、g(f(1)) = g(3) = 0です。別の関数になるので、合成には交換法則が成り立ちません。

f(g(2))はf(2) · g(2)ではない

合成と掛け算を混同しないでください。f(g(x))は「g(x)をfに入れる」、f(x)g(x)は「二つの出力を掛ける」です。f(x) = x²、g(x) = x + 1ならf(g(2)) = f(3) = 9ですが、f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12です。逆順ではg(f(2)) = g(4) = 5です。f(x) = 4x、g(x) = x/2のように両方とも2xになる組もありますが、例外です。

表でも定義域でも、内側から確かめる

表でも合成できます。一方の表でg(2) = 5、他方でf(5) = 1なら、f(g(2)) = f(5) = 1です。内側の値を先に調べればよいのです。定義域には注意が必要で、xがgに入れられ、g(x)がfに入れられなければなりません。f(x) = 1/x、g(x) = x − 3ではf(g(x)) = 1/(x − 3)となり、x = 3ではg(3) = 0をfに入れられません。逆に、複雑な関数を分けることもできます。h(x) = (x − 3)²は、内側のg(x) = x − 3と外側のf(x) = x²の合成f(g(x))です。

実験では二通りの順序を、機械をつないだ二本の列で示します。一覧からfとgを選び、入力xを変えてみましょう。上の列はg、fの順、下の列はf、gの順です。パネルに両方の合成の式が表示され、選んだ組で順序が影響するか分かります。

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f(x) = 2x + 1、g(x) = 3 − x、入力1ではf(g(1)) = 5、g(f(1)) = 0です。両方一致する組としてf = 4xとg = x/2を試しましょう。
  1. f(x) = 2x + 1、g(x) = 3 − xのとき、f(g(1))はいくつですか。
  2. 同じ関数でg(f(1))はいくつですか。
  3. f(x) = 2x + 1、g(x) = 3 − xで、f(g(x))の式はどれですか。
    • 7 − 2x
    • 2 − 2x
    • −2x² + 5x + 3
    • 4 + x
  4. f(x) = x²、g(x) = x + 1のとき、f(g(2))はいくつですか。
  5. f(x) = x²、g(x) = x + 1のとき、g(f(2))はいくつですか。
  6. f(x) = 4x、g(x) = x/2のとき、(f ∘ g)(6)はいくつですか。
  7. (f ∘ g)(x)で先に働くのはどちらの関数ですか。
    • g
    • f
    • 同時に働く
    • xによる
  8. h(x) = (x − 3)²はf(g(x))です。適切な組はどれですか。
    • g(x) = x − 3, f(x) = x²
    • g(x) = x², f(x) = x − 3
    • g(x) = x, f(x) = x − 9
    • g(x) = 3x, f(x) = x²
  9. ある表ではg(2) = 5、別の表ではf(5) = 1です。f(g(2))はいくつですか。
  10. f(x) = 1/x、g(x) = x − 3のとき、f(g(x))の定義域から除かれるxはいくつですか。
よくある間違い
  • f(x) = x + 4、g(x) = 3xで、f(g(2))をf(2) = 6、次にg(6) = 18と計算する。 それはg(f(2))です。f(g(2))は内側から、g(2) = 6、次にf(6) = 10です。
  • 同じ組でf(g(x)) = (x + 4)(3x)と書く。 それは積f(x)g(x)です。合成ではfのxに3xを入れ、f(g(x)) = 3x + 4となります。
  • f(x) = x² + x、g(x) = x + 1で、f(g(x)) = (x + 1)² + xと書く。 fの両方のxを置き換えます。(x + 1)² + (x + 1) = x² + 3x + 2です。
先生からひとこと合成では書く順序と計算順序が異なります。f(g(x))のfは先に書かれ、後に働きます。内側の括弧を指して「gが先、次にf」と言い、最初の数問では二台の機械を描きましょう。式を作る前に数値で計算します。上のx = 1の確認のように、計算済みの値と合わなければ誤った式をすぐ見つけられます。
ポイント
  • (f ∘ g)(x) = f(g(x))：gを先に、fを後に適用します。
  • 内側から計算します。式ではxをg(x)全体に置き換えます。
  • 合成には交換法則が成り立たず、f(g(x))とg(f(x))は通常異なります。
  • 定義域では、xをgに、g(x)をfに入れられる必要があります。
このコースの出典 (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

確認日: 2026-10-18