edubun
Nederlands
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoNederlandsРусскийBahasa Indonesia日本語
Home›Algebra›Functies

Samenstelling van functies

Bij f(x) = 2x + 1 en g(x) = 3 − x is f(g(x)) = 7 − 2x, maar g(f(x)) = 2 − 2x. De volgorde verandert het antwoord.

Korting en kortingsbon: welke eerst?

Een artikel van $50 kun je op twee manieren betalen. De winkel geeft 10% korting, d(x) = 0.9x, en je hebt een bon van $5, c(x) = x − 5. Eerst korting: c(d(50)) = 45 − 5 = 40 dollar. Eerst bon: d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 dollar. Vijftig cent verschil. De uitvoer van één functie gaat telkens direct in de andere. Alleen de volgorde verandert, en daarmee de rekening.

Buikspieroefeningen naar calorieën: de binnenste functie eerst

Soms wordt uitvoer van één functie invoer van de volgende. OpenStax beschrijft buikspieroefeningen: s(t) is het aantal in t minuten, c(s) de calorieën bij s oefeningen. Voor calorieën uit minuten bereken je eerst oefeningen, dan calorieën: c(s(t)). Deze keten heet samenstelling, (c ∘ s)(t) = c(s(t)), gelezen ‘c samengesteld met s’. De laatst geschreven, binnenste functie werkt eerst.

f(g(1)): invoer 1 gaat eerst door g naar 2, daarna door f naar 5.

f(g(x)) = 7 − 2x, maar g(f(x)) = 2 − 2x

Bereken f(g(1)) bij f(x) = 2x + 1 en g(x) = 3 − x van binnenuit. Eerst g(1) = 3 − 1 = 2, dan f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Voor de formule vervang je elke x in f door de hele g(x): f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Bij x = 1: 7 − 2 = 5, dezelfde uitkomst. Andersom g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x en g(f(1)) = g(3) = 0. Het zijn verschillende functies: samenstelling is niet commutatief.

f(g(2)) is niet f(2) · g(2)

Verwar samenstellen niet met vermenigvuldigen. f(g(x)) is ‘g(x) in f stoppen’, f(x)g(x) het product van de uitvoerwaarden. Bij f(x) = x² en g(x) = x + 1 is f(g(2)) = f(3) = 9, maar f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. Andersom g(f(2)) = g(4) = 5. Sommige paren geven beide kanten hetzelfde, zoals f(x) = 4x en g(x) = x/2: beide 2x. Dat is een uitzondering.

Zoek eerst de binnenste waarde op en controleer het domein ook van binnenuit

Samenstellen werkt ook met tabellen. Staat in een tabel g(2) = 5 en in een andere f(5) = 1, dan is f(g(2)) = f(5) = 1. Je hoeft alleen eerst de binnenste waarde op te zoeken. Voor domeinen is een extra controle nodig: x moet toegestaan zijn bij g en g(x) bij f. Met f(x) = 1/x en g(x) = x − 3 is f(g(x)) = 1/(x − 3). Dat kan niet bij x = 3, want g(3) = 0 mag niet in f. Omgekeerd kun je een ingewikkelde functie opsplitsen: h(x) = (x − 3)² is f(g(x)) met g(x) = x − 3 binnenin en f(x) = x² eromheen.

Het practicum toont beide volgorden als twee ketens van machines. Kies f en g uit de lijsten en verander invoer x. De bovenste keten stuurt x eerst door g en dan door f. De onderste stuurt x eerst door f en dan door g. Het paneel schrijft beide samenstellingen als formules uit. Zo zie je of de volgorde bij jouw gekozen paar verschil maakt.

Laden

Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.

f(x) = 2x + 1 en g(x) = 3 − x bij invoer 1: f(g(1)) = 5 en g(f(1)) = 0. Probeer f = 4x en g = x/2 voor gelijke uitkomsten.
  1. Bij f(x) = 2x + 1 en g(x) = 3 − x, wat is f(g(1))?
  2. Bij dezelfde functies, wat is g(f(1))?
  3. Welke formule is f(g(x)) bij f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 − x?
    • 7 − 2x
    • 2 − 2x
    • −2x² + 5x + 3
    • 4 + x
  4. Bij f(x) = x² en g(x) = x + 1, wat is f(g(2))?
  5. Bij f(x) = x² en g(x) = x + 1, wat is g(f(2))?
  6. Bij f(x) = 4x en g(x) = x/2, wat is (f ∘ g)(6)?
  7. Welke functie werkt eerst in (f ∘ g)(x)?
    • g
    • f
    • Ze werken tegelijk
    • Dat hangt af van x
  8. h(x) = (x − 3)² is f(g(x)). Welk paar klopt?
    • g(x) = x − 3, f(x) = x²
    • g(x) = x², f(x) = x − 3
    • g(x) = x, f(x) = x − 9
    • g(x) = 3x, f(x) = x²
  9. Een tabel geeft g(2) = 5 en een andere f(5) = 1. Wat is f(g(2))?
  10. Bij f(x) = 1/x en g(x) = x − 3, welke x ontbreekt in het domein van f(g(x))?
Veelgemaakte fouten
  • Bij f(x) = x + 4 en g(x) = 3x berekenen: f(g(2)) via f(2) = 6, daarna g(6) = 18. Dat is g(f(2)). f(g(2)) begint binnen: g(2) = 6, daarna f(6) = 10.
  • Voor hetzelfde paar f(g(x)) = (x + 4)(3x) schrijven. Dat is product f(x)g(x). Bij samenstellen vervang je x in f door 3x: f(g(x)) = 3x + 4.
  • Bij f(x) = x² + x en g(x) = x + 1 schrijven: f(g(x)) = (x + 1)² + x. Beide x'en vervangen: (x + 1)² + (x + 1) = x² + 3x + 2.
Voor de docentHier verschillen schrijfvolgorde en werkvolgorde: f staat vooraan in f(g(x)), maar werkt als tweede. Laat binnen aanwijzen en ‘eerst g, dan f’ zeggen. Teken bij de eerste opgaven twee machines. Vul getallen in vóór je formules maakt. Een verkeerde formule valt op als ze niet klopt met een vooraf berekende waarde, zoals x = 1 hierboven.
Belangrijkste punten
  • (f ∘ g)(x) = f(g(x)): eerst g, dan f.
  • Reken van binnenuit; vervang x door de hele g(x) voor een formule.
  • Samenstellen is niet commutatief: f(g(x)) en g(f(x)) verschillen meestal.
  • Domein: x moet in g mogen en g(x) in f.
Bronnen van deze cursus (8)
  • Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
  • Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
  • History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

Geraadpleegd: 2026-10-18