Композиция функций

При f(x) = 2x + 1 и g(x) = 3 − x получаем f(g(x)) = 7 − 2x, но g(f(x)) = 2 − 2x. Порядок меняет ответ.

Скидка и купон: что применить сначала?

Товар стоит $50. Магазин даёт скидку 10%, d(x) = 0.9x, а у тебя есть ещё купон на $5, c(x) = x − 5. Сначала скидка, потом купон: c(d(50)) = 45 − 5 = 40 долларов. Сначала купон, потом скидка: d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 долларов. Разница в пятьдесят центов. В обоих случаях результат одной функции сразу поступал в другую. Изменился только порядок, а с ним и сумма оплаты.

От подъёмов корпуса к калориям: внутренняя функция действует первой

Иногда значение одной функции становится аргументом следующей. OpenStax описывает человека, выполняющего подъёмы корпуса: s(t) обозначает число подъёмов за t минут, а c(s) число калорий, потраченных за s подъёмов. Чтобы перейти от минут к калориям, сначала найди число подъёмов, затем калории: c(s(t)). Такая цепочка называется композицией, записывается (c ∘ s)(t) = c(s(t)) и читается «композиция c и s». Функция, записанная последней, внутри скобок, действует первой.

f(g(x)) = 7 − 2x, но g(f(x)) = 2 − 2x

Чтобы вычислить f(g(1)) при f(x) = 2x + 1 и g(x) = 3 − x, двигайся изнутри наружу. Сначала g(1) = 3 − 1 = 2. Затем f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Чтобы получить формулу, подставь всё выражение g(x) вместо x в f: f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Проверка при x = 1: 7 − 2 = 5, как и раньше. В обратном порядке g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x, а g(f(1)) = g(3) = 0. Это разные функции, значит, композиция некоммутативна.

f(g(2)) не равно f(2) · g(2)

Не путай композицию с умножением. f(g(x)) означает «подставь g(x) в f», а f(x)g(x) означает «перемножь значения двух функций». При f(x) = x² и g(x) = x + 1 получаем f(g(2)) = f(3) = 9, но f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. Порядок снова важен: g(f(2)) = g(4) = 5. Некоторые пары дают одинаковую функцию в обоих порядках, например f(x) = 4x и g(x) = x/2: оба порядка дают 2x. Но это исключение.

Сначала найди внутреннее значение; область определения тоже проверяй изнутри

Композицию можно находить и по таблицам. Если в одной таблице g(2) = 5, а в другой f(5) = 1, то f(g(2)) = f(5) = 1. Достаточно сначала найти внутреннее значение. С областью определения нужно ещё одно условие: x должен быть допустим для g, а g(x) для f. При f(x) = 1/x и g(x) = x − 3 получаем f(g(x)) = 1/(x − 3). При x = 3 выражение не определено, потому что g(3) = 0 нельзя подставить в f. Можно двигаться и в обратную сторону, разбирая сложную функцию: h(x) = (x − 3)² есть f(g(x)), где внутри g(x) = x − 3, а снаружи f(x) = x².

Лаборатория показывает оба порядка как две цепочки машин. Выбери f и g из списков и меняй аргумент x. Верхняя цепочка пропускает x через g, затем через f; нижняя через f, затем через g. Панель записывает обе композиции формулами, чтобы ты увидел, важен ли порядок для выбранной пары.