Composição de funções

Com f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 − x, f(g(x)) = 7 − 2x, mas g(f(x)) = 2 − 2x. A ordem muda a resposta.

Desconto e cupom: qual vem primeiro?

Duas formas de pagar por um produto de $50. A loja dá 10% de desconto, d(x) = 0.9x, e você também tem um cupom de $5, c(x) = x − 5. Primeiro o desconto, depois o cupom: c(d(50)) = 45 − 5 = 40 dólares. Primeiro o cupom, depois o desconto: d(c(50)) = 0.9 × 45 = 40.50 dólares. Uma diferença de cinquenta centavos. Nos dois casos, a saída de uma função entrou diretamente na outra. Só a ordem mudou, e isso mudou a conta.

De abdominais a calorias: a função interna age primeiro

Às vezes, a saída de uma função é a entrada da seguinte. O OpenStax descreve uma pessoa fazendo abdominais: s(t) é o número de abdominais em t minutos, e c(s) é o número de calorias gastas em s abdominais. Para obter calorias a partir de minutos, primeiro calcule os abdominais, depois as calorias: c(s(t)). Esse encadeamento é a composição, escrita (c ∘ s)(t) = c(s(t)) e lida como “c composta com s”. A função escrita por último, na parte interna, age primeiro.

f(g(x)) = 7 − 2x, mas g(f(x)) = 2 − 2x

Para calcular f(g(1)) com f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 − x, trabalhe de dentro para fora. Primeiro, g(1) = 3 − 1 = 2. Depois, f(2) = 2 × 2 + 1 = 5. Para obter uma fórmula, substitua x em f por toda a expressão g(x): f(g(x)) = 2(3 − x) + 1 = 6 − 2x + 1 = 7 − 2x. Confira com x = 1: 7 − 2 = 5, como antes. Na outra ordem, g(f(x)) = 3 − (2x + 1) = 2 − 2x, e g(f(1)) = g(3) = 0. As duas composições são funções diferentes, portanto a composição não é comutativa.

f(g(2)) não é f(2) · g(2)

Não confunda composição com multiplicação. f(g(x)) significa “colocar g(x) em f”, enquanto f(x)g(x) significa “multiplicar as duas saídas”. Com f(x) = x² e g(x) = x + 1, f(g(2)) = f(3) = 9, mas f(2) · g(2) = 4 × 3 = 12. E a ordem importa de novo: g(f(2)) = g(4) = 5. Alguns pares dão a mesma função nas duas ordens, como f(x) = 4x e g(x) = x/2, em que ambas dão 2x, mas isso é exceção.

Consulte primeiro o valor interno e verifique o domínio também de dentro para fora

A composição também funciona com tabelas. Se uma tabela diz g(2) = 5 e outra diz f(5) = 1, então f(g(2)) = f(5) = 1; basta consultar primeiro o valor interno. O domínio exige mais um cuidado: x precisa ser permitido em g, e g(x) precisa ser permitido em f. Com f(x) = 1/x e g(x) = x − 3, f(g(x)) = 1/(x − 3), que não existe em x = 3 porque g(3) = 0 não pode entrar em f. No sentido inverso, você pode decompor uma função: h(x) = (x − 3)² é f(g(x)), com g(x) = x − 3 por dentro e f(x) = x² por fora.

O laboratório mostra as duas ordens como dois encadeamentos de máquinas. Escolha f e g nas listas e altere a entrada x. A sequência de cima passa x por g e depois por f; a de baixo, por f e depois por g. O painel escreve as duas composições como fórmulas, para você ver se a ordem importa no par escolhido.