Transformações de gráficos

O gráfico de y = (x − 3)² + 1 é o de y = x² deslocado 3 para a direita e 1 para cima. O vértice passa de (0, 0) para (3, 1).

Dê um palpite: x − 3 desloca a curva para a esquerda ou para a direita?

Comece pelo laboratório, antes das regras. Ele abre em g(x) = (x − 3)² + 1, sobre a função básica tracejada y = x². Antes de olhar de perto, dê um palpite: x − 3 desloca a curva para a esquerda ou para a direita? Agora encontre o ponto de referência vermelho. Ele está em (3, 1). Para a direita, então. Ajuste k para −2, e a curva inteira desce. Ajuste a para −2, e ela se inverte e fica mais estreita. Guarde a primeira surpresa, um sinal de menos que levou o gráfico para a direita, pois o restante da unidade explica isso.

Quatro gráficos básicos para reconhecer pela forma

Vale a pena reconhecer alguns gráficos pela forma: y = x², a parábola; y = |x|, um V com vértice na origem; y = √x, metade de uma parábola deitada que começa na origem; e y = x³, que sobe passando pela origem e fica momentaneamente horizontal ali. O OpenStax os chama de funções de referência. A maioria dos gráficos que você encontrará é um deles deslocado, refletido ou alongado, e quatro regras descrevem essas mudanças. Conhecendo a função básica e as regras, você pode esboçar o novo gráfico em poucos segundos, sem tabela.

Somar 20 por fora eleva em 20 o gráfico das aberturas do telhado

Somar uma constante fora da função move o gráfico para cima ou para baixo. Se g(x) = f(x) + k, toda saída aumenta em k, então o gráfico sobe k unidades quando k > 0 e desce quando k < 0. O OpenStax dá um exemplo de um prédio sustentável cujas aberturas no telhado abrem e fecham ao longo do dia: se V(t) é a área aberta, em pés quadrados, t horas após a meia-noite, e o responsável mantém mais 20 pés quadrados abertos dia e noite, a nova função é S(t) = V(t) + 20, o mesmo gráfico elevado em 20. Só as saídas mudam; as entradas continuam iguais.

Por que x − 3 desloca o gráfico para a direita, não para a esquerda

Mudar a entrada desloca o gráfico na horizontal, e a direção costuma surpreender. O gráfico de g(x) = f(x − h) é o de f deslocado h unidades para a direita. Para entender, pergunte onde g produz a saída que f tinha em 0: g(x) = f(0) quando x − h = 0, ou seja, em x = h. Tudo acontece h unidades depois. Assim, (x − 3)² se desloca 3 para a direita, e |x + 2| = |x − (−2)| se desloca 2 para a esquerda. Um menos dentro dos parênteses indica direita; um mais indica esquerda.

Menos por fora inverte em cima e embaixo; por dentro, esquerda e direita

Um sinal de menos à frente, g(x) = −f(x), troca o sinal de toda saída e reflete o gráfico no eixo x: −√x fica abaixo do eixo, em vez de subir acima dele. Um menos na entrada, g(x) = f(−x), reflete o gráfico no eixo y: √(−x) começa na origem e segue para a esquerda. Multiplicar as saídas por um número positivo a alonga verticalmente o gráfico quando a > 1 e o comprime quando 0 < a < 1. Assim, 2|x| é um V mais íngreme, e (1/2)x² é uma parábola mais larga.

Acompanhe um ponto para transformar o gráfico

Para g(x) = a f(x − h) + k, uma maneira segura de esboçar é acompanhar alguns pontos da função básica. Um ponto (x, y) de f passa a (x + h, a·y + k) em g. O ponto (4, 2) está em y = √x, então em y = √(x − 1) + 3 passa a (5, 5). O vértice (0, 0) de |x| passa a (3, 1) em y = 2|x − 3| + 1. Volte ao laboratório do início, escolha uma função básica, altere a, h e k e observe o ponto vermelho. O painel lista os movimentos em ordem e mostra onde ficam outros dois pontos.