Funções inversas

C = (5/9)(F − 32) transforma 75 °F em cerca de 24 °C. Sua inversa, F = (9/5)C + 32, transforma 26 °C em cerca de 79 °F.

Betty lê em Fahrenheit uma previsão em Celsius

O OpenStax conta sobre Betty, que vai a Milão e está acostumada a Fahrenheit. A fórmula C = (5/9)(F − 32) converte Fahrenheit em Celsius: 75 °F são (5/9)(43), cerca de 24 °C. Mas a previsão está em Celsius, e isolar F na equação toda vez seria trabalhoso. Ela quer uma segunda fórmula que receba uma temperatura em Celsius e devolva Fahrenheit. Essa é uma função inversa: as saídas da primeira viram entradas da segunda, e as entradas viram saídas.

O −1 em f⁻¹ não é expoente

A inversa de f é escrita f⁻¹, lida como “f inversa”. O −1 faz parte do nome, não é expoente: f⁻¹(x) não é 1/f(x). A propriedade que a define é que as duas funções desfazem uma à outra. Se f(a) = b, então f⁻¹(b) = a; assim, f⁻¹(f(x)) = x e f(f⁻¹(x)) = x. Por exemplo, se f(3) = 10, então f⁻¹(10) = 3, mesmo sem fórmula alguma. O domínio de f⁻¹ é a imagem de f, e a imagem de f⁻¹ é o domínio de f.

Isole x e depois troque as letras

Para encontrar uma inversa a partir de uma fórmula, escreva y = f(x), isole x e troque os nomes das letras. Para f(x) = 2x + 1: y = 2x + 1, logo y − 1 = 2x e x = (y − 1)/2. Renomeando, f⁻¹(x) = (x − 1)/2. Confira: f(3) = 7 e f⁻¹(7) = (7 − 1)/2 = 3. Para Betty, isolar F em C = (5/9)(F − 32) dá F = (9/5)C + 32. Assim, 26 °C viram 26 × 9/5 + 32 = 78.8, cerca de 79 °F, e 20 °C viram 68 °F. Desfaça as etapas na ordem inversa: f dobra e depois soma 1, então f⁻¹ subtrai 1 e depois divide por dois.

x² leva 3 e −3 ao mesmo 9

Nem toda função pode ser invertida. f(x) = x² leva tanto 3 quanto −3 a 9; uma máquina inversa que recebesse 9 não saberia qual devolver. Uma função tem inversa exatamente quando é injetora, o que se verifica pelo teste da reta horizontal da primeira unidade. A solução do OpenStax para x² é restringir seu domínio a [0, ∞). Nessa metade, a função é injetora, e sua inversa é a função raiz quadrada, √x. Por isso √9 significa 3, e não −3.

O gráfico de f⁻¹ é o de f refletido na reta y = x

Trocar entradas e saídas troca as coordenadas de cada ponto: (a, b) em f vira (b, a) em f⁻¹. Geometricamente, essa troca é uma reflexão na reta diagonal y = x. Portanto, o gráfico da inversa é a imagem espelhada do original nessa reta. Para f(x) = 2x + 1, o ponto (1, 3) se reflete em (3, 1), que está em y = (x − 1)/2. No laboratório, mova o ponto ao longo de f e observe seu par se mover em f⁻¹. Escolha f(x) = x² em todos os reais, e a imagem espelhada vira uma parábola deitada que não passa no teste da reta vertical.

Carregando

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

f(x) = 2x + 1 (azul), y = x (tracejada) e f⁻¹(x) = (x − 1)/2 (laranja). O ponto (1, 3) e seu reflexo (3, 1). Teste x³ e depois x² em todos os reais.

Qual é a inversa de f(x) = 2x + 1?
- (x − 1)/2
- 2x − 1
- 1/(2x + 1)
- (x + 1)/2
Para f(x) = 2x + 1, quanto vale f⁻¹(7)?
Se f(3) = 10, quanto vale f⁻¹(10)?
Para f(x) = x³, quanto vale f⁻¹(8)?
f(x) = x², definida em todos os reais, tem função inversa?
- Não, ela não é injetora
- Sim, √x
- Sim, 1/x²
- Sim, −x²
O que significa f⁻¹(x)?
- A função inversa de f em x
- 1/f(x)
- f(x) elevado a −1, como número
- −f(x)
(2, 5) está no gráfico de f. Qual ponto está no gráfico de f⁻¹?
- (5, 2)
- (2, 5)
- (−2, −5)
- (1/2, 1/5)
Converta 20 °C em Fahrenheit com F = (9/5)C + 32.
Para f(x) = x/2 − 3, quanto vale f⁻¹(1)?
O que é sempre verdadeiro para uma função f e sua inversa?
- f(f⁻¹(x)) = x
- f(x) · f⁻¹(x) = 1
- f⁻¹(x) = −f(x)
- f(x) = f⁻¹(x)

Função inversa f⁻¹	Troca entradas e saídas: f(a) = b significa f⁻¹(b) = a
Como encontrar f⁻¹	Escreva y = f(x), isole x e renomeie as letras
Quais funções têm inversas	Funções injetoras (teste da reta horizontal)
Gráfico de f⁻¹	A imagem espelhada de f na reta y = x

Erros comuns

Escrever f⁻¹(x) = 1/(3x − 6) para f(x) = 3x − 6. Isso é o inverso multiplicativo 1/f(x). Em vez disso, desfaça as etapas: f⁻¹(x) = (x + 6)/3. Confira com 4: f(4) = 6 e f⁻¹(6) = 4, enquanto 1/f(4) = 1/6.
Desfazer f(x) = 2x + 1 como “dividir por dois e subtrair 1”, obtendo x/2 − 1. f dobra e depois soma 1, então a inversa faz o caminho contrário: primeiro subtrai 1, depois divide por dois. Em 7, x/2 − 1 dá 2.5, mas f(2.5) = 6, não 7.
Refletir f no eixo x para desenhar f⁻¹. O espelhamento no eixo x dá −f(x). A inversa troca as coordenadas, que é a reflexão em y = x: (2, 7) em f(x) = 3x + 1 passa a (7, 2), não a (2, −7).

Nota do professorDois pontos causam dificuldade. A notação f⁻¹ parece uma potência, então use uma função concreta por um minuto e calcule f⁻¹(5) ao lado de 1/f(5). E “trocar x e y” parece um truque. Monte primeiro uma tabela de valores de f, troque as duas colunas e só então isole x, para dar sentido à troca. Deixe o caso de x² com domínio restrito para depois que a ideia de função injetora estiver clara.

Pontos-chave

f⁻¹ desfaz f: f⁻¹(f(x)) = x e f(f⁻¹(x)) = x.
f⁻¹(x) não é 1/f(x).
Para encontrá-la: y = f(x), isole x e troque as letras.
Só funções injetoras têm inversas; o gráfico de f⁻¹ é o de f refletido em y = x.

Fontes deste curso (8)

Curriculum: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정 (ncic.re.kr/inv/org/download.do?year=2022&seq=10003559&orgType=ogi4, PDF read 2026-10-19: 중학교 1~3학년군 [9수02-06] 그래프 해석(증가와 감소), [9수02-14] 함수의 개념·함숫값, 용어 함수·함숫값·기울기·평행이동, 고려 사항 「한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계를 이용하여 도입」; 고등학교 공통수학2 [10공수2-01-06] 평행이동, [10공수2-01-07] 원점·x축·y축·직선 y = x에 대한 대칭이동, [10공수2-03-01] 함수의 개념(두 집합 사이의 대응 관계), [10공수2-03-02] 합성함수, [10공수2-03-03] 역함수, 용어 정의역·치역·공역·대응·일대일대응·일대일함수·합성함수·역함수, 기호 f: X → Y, g ∘ f, (g ∘ f)(x), y = g(f(x)), f⁻¹, y = f⁻¹(x), 교수·학습 용어 조건제시법; 미적분Ⅰ 용어 구간·닫힌구간·열린구간 [a, b], (a, b), 평균변화율, [12미적Ⅰ-02-07] 증가와 감소, 극댓값·극솟값)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.1 Functions and Function Notation (relation, domain and range of ordered pairs, {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}, the odd/even relation that is not a function, coffee menu prices, vertical line test, horizontal line test, one-to-one: openstax.org/books/college-algebra-2e/pages/3-1-functions-and-function-notation)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.2 Domain and Range (no even root of a negative number, no division by 0, interval notation with brackets and parentheses, (0, 100] for "more than 0 and at most $100", {(2, 10), (3, 10), (4, 20), (5, 30), (6, 40)}: .../pages/3-2-domain-and-range)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs (average rate of change, increasing and decreasing intervals, local maxima and minima: .../pages/3-3-rates-of-change-and-behavior-of-graphs)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.4 Composition of Functions (f(g(x)); f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3 − x give f(g(x)) = 7 − 2x and g(f(x)) = −2x + 2, so composition is not commutative; c(s) calories and s(t) sit-ups; f(x) = 1/x and g(x) = x − 3: .../pages/3-4-composition-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.5 Transformation of Functions (g(x) = f(x) + k vertical shift, f(x − h) horizontal shift, −f(x) and f(−x) reflections, af(x) stretches and compressions, roof vent example S(t) = V(t) + 20 (open vent area in square feet plus 20): .../pages/3-5-transformation-of-functions)
Textbook: OpenStax, College Algebra 2e, 3.7 Inverse Functions (f⁻¹ is not an exponent and not 1/f, C = (5/9)(F − 32), 75 °F is about 24 °C, 26 °C is about 79 °F, x² restricted to [0, ∞), reflection about y = x: .../pages/3-7-inverse-functions)
History block only: MacTutor, University of St Andrews, The function concept (Leibniz, August 1673, the word "function"; Johann Bernoulli's letter of 2 September 1694; Euler, Introductio in analysin infinitorum 1748 and Institutiones calculi differentialis 1755; Dirichlet 1837; Goursat 1923 "y = f(x)": mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Functions)

Data de verificação: 2026-10-18